[数据结构]-红黑树

前言
作者：小蜗牛向前冲
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本期学习目标：什么是红黑树，红黑树是怎么实现的，红黑树的测试，红黑树和AVL树的对比

一、红黑树的基本知识

1、红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍（最长路径吧会超过最短路径的2倍），因而是接近平衡的。

2、性质

每个结点不是红色就是黑色。
根节点是黑色的。
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。(没有连续的红节点)
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。(每条路径下都包含相同的黑节点)
每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)。

推论：

最短路径：全部由黑节点组成
最长路径：一黑一红，红节点数量 == 黑节点数量

这里我们思考一下，红黑树是如何保证：最长路径不超过最短路径的2倍？

由推论2可知，对于最长路经，就是一红一黑，而且红节点数量等于黑节点数量，
在由推论1可知，最短路径节点数量全为黑。
在由性质4可知，每条路径的黑节点数量都相同，这就保证了最长路径不超过2倍的最短路径。

二、红黑树的模拟实现

1、节点的定义

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_col(RED)
		{}
};

2、红黑树的插入

根据节点的定义，我们上面定义了一个枚举类型了存放显色的类型，RED和BLACK，但是我们在插入节点的时候是定义红色还是黑色呢？我们在上面定义的是红色为什么呢？

这里分类讨论一下：

定义新插入节点为黑色：
就会破坏性质4，导致每天路径的黑色节点数量不同
定义新插入节点为红色：
可能会破坏性质3，导致出现连续的红节点，但是这样也仅仅影响的是一条路径，影响有限。

综上所述：所以我们选择插入节点为红色。

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点(p：parent g：grandfather u：uncle)

当p为g的左孩子时，有3种情况需要讨论

情况1：

情况2：

情况3：

当p为g的右孩子时，也有3种情况需要讨论

这里的讨论和上面相似，处理方法也相似：

情况1：

情况2:

情况3：

代码实现：

bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	//找到插入位置
		Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		//到左子树找
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	//找到了
	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;//默认颜色为红色
	//链接节点
	if (parent->_kv.first > kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	//插入后要调整红黑树
	//如果父亲存在且为红色
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandparent = parent->_parent;
		//情况1：cur为红色，p和u都为红色，g为黑色,这里的u是存在的
		//解决方法:p和n都变黑,g变红,在把cur当做g继续调整
		if (parent == grandparent->_left)
		{
			Node* uncle = grandparent->_right;
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandparent->_col = RED;
				cur = grandparent;
				//更新parent
				parent = cur->_parent;
			}
			else//情况2+3  uncle存在且为黑色或者uncle不存在
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					//情况2
					//解决方法:右单旋，将p变黑，g变红
					RotateR(grandparent);
					parent->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
				}
				else//情况3：双旋转
				{
					RotateL(parent);
					RotateR(grandparent);
					grandparent->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;//双旋转后cur变为了根
				}
				//这里类比根节点为色，不需要在调整了
				break;
			}
		}
		else//grandparent->right == parent
		{
			//这里也是和上面一样分为三种情况
			Node* grandparent = parent->_parent;
			Node* uncle = grandparent->_left;
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandparent->_col = RED;
				cur = grandparent;
				//更新parent
				parent = cur->_parent;
			}
			else
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					RotateL(grandparent);//左单旋转
					parent->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
				}
				else
				{
					RotateR(parent);
					RotateL(grandparent);
					grandparent->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;//双旋转后cur变为了根
				}
				break;
			}
		}
	}
	//调整完成，把根节点变黑
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* grandparent = parent->_parent;
	//让subLR变为parent的左,
	parent->_left = subLR;
	//这里要判断一下subLR不为空
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}
	//parent变为subL的右
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;
	//parent就是为根
	if (grandparent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = grandparent;
	}
	else
	{
		//parnet是上grandparent的左子树
		if (grandparent->_left == parent)
		{
			grandparent->_left = subL;
		}
		else
		{
			grandparent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = grandparent;
	}
}

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* ppNode = parent->_parent;

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
	{
		subRL->_parent = parent;
	}
	
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	//parnet为根,要更新根
	if (ppNode == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = ppNode;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}
		subR->_parent = ppNode;
	}
}

三、红黑树的测试

1、验证的准备工作

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
检测其是否满足红黑树的性质
检测方法：
1、根节点是黑色，否则不是红黑树
2、当前节点是红色，去检测父亲节点，父亲节点也是红色，则不是红黑树
3、以最左侧路径的黑色节点为基准，其它路径上的黑色节点与基准不相等，不是红黑树

检验代码：

void Inorder()
{
	_Inorder(_root);
}

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_Inorder(root->_right);
}

bool Check(Node* root, int blackNum, const int ref)
{
	if (root == nullptr)
	{
		//已经递归到最深处进行,本路径的黑节点树和ref数量对比
		if (blackNum != ref)
		{
			cout << "违反规则：本条路径的黑色节点的数量跟最左路径不相等" << endl;
			return false;
		}

		return true;
	}

	if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "违反规则：出现连续红色节点" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_col == BLACK)
	{
		++blackNum;
	}

	return Check(root->_left, blackNum, ref)
		&& Check(root->_right, blackNum, ref);
}

bool IsBalance()
{
	if (_root == nullptr)
	{
		return true;
	}

	if (_root->_col != BLACK)
	{
		return false;
	}
	//求出最左路节点有多少个黑节点
	int ref = 0;
	Node* left = _root;
	while (left)
	{
		if (left->_col == BLACK)
		{
			++ref;
		}

		left = left->_left;
	}

	return Check(_root, 0, ref);
}

2、测试用例

这里我们借用上面AVL树的测试用例即可

void TestRBTree1()
{
	//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	RBTreeh<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		/*if (e == 18)
		{
			int x = 0;
		}*/

		t.insert(make_pair(e, e));
		cout << "insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.Inorder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
}

void TestRBTree2()
{
	srand(time(0));
	const size_t N = 100000;
	RBTreeh<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		size_t x = rand();
		t.insert(make_pair(x, x));
		//cout << t.IsBalance() << endl;
	}

	//t.Inorder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

3、完整代码实现

#pragma once

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_col(RED)
		{}
};

template<class K,class V>
class RBTreeh
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		//找到插入位置
 		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			//到左子树找
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//找到了
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;//默认颜色为红色
		//链接节点
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//插入后要调整红黑树
		//如果父亲存在且为红色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandparent = parent->_parent;
			//情况1：cur为红色，p和u都为红色，g为黑色,这里的u是存在的
			//解决方法:p和n都变黑,g变红,在把cur当做g继续调整
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				Node* uncle = grandparent->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					//更新parent
					parent = cur->_parent;
				}
				else//情况2+3  uncle存在且为黑色或者uncle不存在
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//情况2
						//解决方法:右单旋，将p变黑，g变红
						RotateR(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else//情况3：双旋转
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandparent);
						grandparent->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;//双旋转后cur变为了根
					}
					//这里类比根节点为色，不需要在调整了
					break;
				}
			}
			else//grandparent->right == parent
			{
				//这里也是和上面一样分为三种情况
				Node* grandparent = parent->_parent;
				Node* uncle = grandparent->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					//更新parent
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandparent);//左单旋转
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandparent);
						grandparent->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;//双旋转后cur变为了根
					}
					break;
				}
			}
		}
		//调整完成，把根节点变黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* grandparent = parent->_parent;
		//让subLR变为parent的左,
		parent->_left = subLR;
		//这里要判断一下subLR不为空
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		//parent变为subL的右
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		//parent就是为根
		if (grandparent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = grandparent;
		}
		else
		{
			//parnet是上grandparent的左子树
			if (grandparent->_left == parent)
			{
				grandparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				grandparent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = grandparent;
		}
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		//parnet为根,要更新根
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = ppNode;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}


	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int ref)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			//已经递归到最深处进行,本路径的黑节点树和ref数量对比
			if (blackNum != ref)
			{
				cout << "违反规则：本条路径的黑色节点的数量跟最左路径不相等" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "违反规则：出现连续红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;
		}

		return Check(root->_left, blackNum, ref)
			&& Check(root->_right, blackNum, ref);
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		if (_root->_col != BLACK)
		{
			return false;
		}
		//求出最左路节点有多少个黑节点
		int ref = 0;
		Node* left = _root;
		while (left)
		{
			if (left->_col == BLACK)
			{
				++ref;
			}

			left = left->_left;
		}

		return Check(_root, 0, ref);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;

};

void TestRBTree1()
{
	//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	RBTreeh<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		/*if (e == 18)
		{
			int x = 0;
		}*/

		t.insert(make_pair(e, e));
		cout << "insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.Inorder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
}

//void TestRBTree2()
//{
//	srand(time(0));
//	const size_t N = 100000;
//	RBTreeh<int, int> t;
//	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
//	{
//		size_t x = rand();
//		t.insert(make_pair(x, x));
//		//cout << t.IsBalance() << endl;
//	}
//
//	//t.Inorder();
//	cout << t.IsBalance() << endl;
//}

四、AVL树和红黑树的比较

AVL树（Adelson-Velsky and Landis tree）和红黑树都是自平衡的二叉搜索树，它们在维持树的平衡性上采用了不同的策略。以下是它们之间的一些比较：

平衡性维护策略：
AVL树： 通过保持任意节点的左右子树的高度差（平衡因子）不超过1来维护平衡。在每次插入或删除操作后，可能需要旋转来恢复平衡。
红黑树： 通过引入额外的颜色信息和一些规则，确保树的高度保持在较小的范围内。具体来说，红黑树的平衡性维护是通过节点的颜色和一些颜色约束来实现的。

平衡因子和颜色信息：
AVL树： 使用平衡因子（Balance Factor）来表示每个节点左右子树的高度差。通常，平衡因子为 -1、0、1。
红黑树： 使用颜色信息（红色或黑色）来表示树的平衡状态。通过遵循红黑树的性质，确保了树的平衡。

旋转操作：
AVL树： 插入或删除可能需要执行多次旋转操作，包括左旋、右旋、左右旋、右左旋等。
红黑树： 插入或删除通常只需要执行一到两次旋转操作，因为红黑树引入了颜色信息，更灵活地维持平衡。

性能影响：
AVL树： 由于 AVL 树对平衡的要求更为严格，因此在插入和删除等操作时可能会导致更多的旋转，相对来说更耗费性能。
红黑树： 由于其相对宽松的平衡条件，红黑树在插入和删除等操作时通常执行的旋转较少，因此性能可能相对更好。

应用场景：
AVL树： 适用于对搜索性能有较高要求的场景，例如在数据库中需要快速检索数据。
红黑树： 通常在需要高效的插入和删除操作的情况下使用，例如在集合类的实现中。

总体而言，选择 AVL 树还是红黑树取决于应用的特定需求。如果搜索操作远远超过插入和删除，可能更倾向于使用 AVL 树。而在插入和删除操作频繁的情况下，红黑树可能更为适用。

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