超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）

1. 系统模型
2. 控制量设计
3. 稳定性证明
4. 总结

关于超螺旋滑模控制（或称超扭滑模控制）的论文有很多，但关于其具体的稳定性证明却少之又少，数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此，笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程，一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者，希望能为各位带来一定的参考。

关于该理论的详细证明过程，笔者目前没有找到其他文章，因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章，喜欢的读者可以收藏加点赞。

本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识，可以点击传送门进行学习：滑模控制理论（SMC）概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文！

1. 系统模型

一般地，对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家），则有：
与传统的滑模控制相比，超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量，不含高频切换量，因而系统中没有抖振。
令滑模面为，只要满足如下方程：
则系统即为稳定的。

2. 控制量设计

设状态超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）的期望值为，则跟踪误差为。设，并设滑模面为：
对其求导
容易看出，此时如果设
则就能具有式(1)的形式。
对于(1)中参数设定为：
式中均大于零。

3. 稳定性证明

容易看出，与传统滑模控制不同的是，超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）中含有的不再是滑模面，而是其多项式。除此之外，在表达式中还出现了另一个参数（式(1)）。不妨把这两者设定为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

令
超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）则对应的各自导数为
又因为，故。故式(6)即为
即：
设新的状态变量为
并定义李雅普诺夫函数为
其中
定理1：矩阵正定的充要条件是矩阵的所有特征根均大于零。

根据定理1不难得出矩阵超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）是正定的，因而李雅普诺夫函数。

3.1 李雅普诺夫函数的求导过程

直接对(8)求导。
超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家） 注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样即为
这样我们得到李雅普诺夫函数的导数：

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

我们把式(11)所代表的超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）表示为
下面开始求的特征根的一般形式。
特征根为
设两个特征根中大的为，小的为，有
为方便表示，把根号部分记为，进而另一方面有
为比较与的大小，不妨作差：
对于(15)，式中为常数项；因此最后结果可看成由2部分组成，第一部分为完全平方式，大于等于零；而对于第二部分的分子来说又分为超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）和两部分。其中：
而根据绝对不等式故式(15)的第二部分也大于等于零。

到这里我们总结可以得到：
超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）即同理可以得

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

式(17)是对超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）作出的，对于同样根据式(17)有
另一方面
由(19)推出
又根据(16)：
再根据(18)
其中

定理2：若系统的李雅普诺夫函数满足
则系统具有稳定性。

3.4 矩阵的正定性的保证

根据定理2，式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到，式(21)只有在超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）的情况下才能保证系统稳定性，而根据式(22)，即需要和均大于等于零。由于矩阵为正定的，因此立即得证；下面需要保证，即保证矩阵的正定性。

这里再次列出超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）的表达式：
不妨直接取
这样可以化简为一个对角矩阵
并能够一眼看出的特征根为
其中立即得证，为保证，需要有

3.5 李雅普诺夫函数的更新

在3.4一节中给出了保证矩阵超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）正定性的条件。由于两参数是人为给出的，因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中，构建新的李雅普诺夫函数：
其中为常数（未知）。
对其求导得下式(26)：
根据有
设中最小的数为超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家），则上式为
于是代入(26)有
由于为常数，不妨假设恒有。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可，因此总能找到这样的，该假设是合理的。