超螺旋滑模控制详细介绍(全网独家)
关于超螺旋滑模控制(或称超扭滑模控制)的论文有很多,但关于其具体的稳定性证明却少之又少,数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此,笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程,一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者,希望能为各位带来一定的参考。
关于该理论的详细证明过程,笔者目前没有找到其他文章,因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章,喜欢的读者可以收藏加点赞。
本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识,可以点击传送门进行学习:滑模控制理论(SMC)概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文!
1. 系统模型
一般地,对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为,则有:
与传统的滑模控制相比,超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量,不含高频切换量,因而系统中没有抖振。
令滑模面为,只要满足如下方程:
则系统即为稳定的。
2. 控制量设计
设状态的期望值为,则跟踪误差为 。设,并设滑模面为:
对其求导
容易看出,此时如果设
则就能具有式(1)的形式。
对于(1)中参数设定为:
式中均大于零。
3. 稳定性证明
容易看出,与传统滑模控制不同的是,中含有的不再是滑模面,而是其多项式。除此之外,在表达式中还出现了另一个参数(式(1))。不妨把这两者设定为新的状态变量,在此基础上设成李雅普诺夫函数。
令
则对应的各自导数为
又因为,故。故式(6)即为
即:
设新的状态变量为
并定义李雅普诺夫函数为
其中
定理1:矩阵正定的充要条件是矩阵的所有特征根均大于零。
根据定理1不难得出矩阵是正定的,因而李雅普诺夫函数。
3.1 李雅普诺夫函数的求导过程
直接对(8)求导。
注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样即为
这样我们得到李雅普诺夫函数的导数:
3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论(必读部分)
我们把式(11)所代表的表示为
下面开始求的特征根的一般形式。
特征根为
设两个特征根中大的为,小的为,有
为方便表示,把根号部分记为,进而另一方面有
为比较与的大小,不妨作差:
对于(15),式中为常数项;因此最后结果可看成由2部分组成,第一部分为完全平方式,大于等于零;而对于第二部分的分子来说又分为和两部分。其中:
而根据绝对不等式故式(15)的第二部分也大于等于零。
到这里我们总结可以得到:
即同理可以得
3.3 李雅普诺夫函数导数的变换
式(17)是对作出的,对于同样根据式(17)有
另一方面
由(19)推出
又根据(16):
再根据(18)
其中
定理2:若系统的李雅普诺夫函数满足
则系统具有稳定性。
3.4 矩阵的正定性的保证
根据定理2,式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到,式(21)只有在的情况下才能保证系统稳定性,而根据式(22),即需要和均大于等于零。由于矩阵为正定的,因此立即得证;下面需要保证,即保证矩阵的正定性。
这里再次列出的表达式:
不妨直接取
这样可以化简为一个对角矩阵
并能够一眼看出的特征根为
其中立即得证,为保证,需要有
3.5 李雅普诺夫函数的更新
在3.4一节中给出了保证矩阵正定性的条件。由于两参数是人为给出的,因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中,构建新的李雅普诺夫函数:
其中为常数(未知)。
对其求导得下式(26):
根据有
设中最小的数为,则上式为
于是代入(26)有
由于为常数,不妨假设恒有。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可,因此总能找到这样的,该假设是合理的。
此时式(27)为
此时若令
即可使式(28)变为
其中
根据定理2,式(30)使得系统具有稳定性。
3.6 系统各部分总结
系统具有如下为标准柯西形式:
设计滑模面为
以及控制量:
并设计自适应律为
则系统具有稳定性:
4. 总结
就笔者而言,超螺旋滑模控制内容的精髓在于巧妙设计了状态量,使得后续的导数与不等式计算大大简化,很多项可以巧妙消去。此外,尽管在(29)中不等式右边有正数项的存在,系统依然可以在一定限度内保持稳定,原因在于我们证明了而非传统的,这更大程度上能够保证系统稳定性。
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