python经典百题之猴子吃桃

题目：

猴子吃桃问题：猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不瘾，又多吃了一个第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。
以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。求第一天共摘了多少。

方法一：递归法

递归法是一种自顶向下的解题思路，通过将大问题逐步分解为小问题，求解最终结果。
首先，定义一个递归函数peach_count(n)，表示第n天剩余桃子的数量。当n为10时，剩余桃子数为1。
递推公式为peach_count(n) = 2 * (peach_count(n+1) + 1)，表示第n天剩余的桃子数量是第n+1天剩余桃子数量的两倍加1。
然后，倒推回第一天可以得到摘了的桃子数量。
具体代码如下：

def peach_count(n):
    if n == 10:
        return 1
    return 2 * (peach_count(n+1) + 1)

total_peach = peach_count(1)
print("第一天共摘了%d个桃子。" % total_peach)

方法二：迭代法

迭代法是一种自底向上的解题思路，通过循环逐步求解，直到达到最终结果。
假设第一天的桃子数量为x，根据题意可得到迭代公式：x = (x/2 – 1) * 2。
通过循环迭代计算，从第10天一直到第一天，得到第一天的桃子数量。
具体代码如下：

x = 1
for _ in range(10):
    x = (x/2 - 1) * 2

total_peach = int(x)
print("第一天共摘了%d个桃子。" % total_peach)

方法三：数学推导法

利用数学推导可以直接求解出第一天的桃子数量。
设第一天摘了x个桃子，则第二天剩余的桃子数量为(x-1)*0.5，第三天剩余的桃子数量为((x-1)*0.5-1)*0.5，依此类推，到第十天剩余的桃子数量为1。
通过逆向推导，可以得到第一天摘的桃子数量为1534。
具体代码如下：

total_peach = 1
for _ in range(10):
    total_peach = (total_peach + 1) * 2

print("第一天共摘了%d个桃子。" % total_peach)

优缺点：

• 递归法：思路清晰，代码简洁，但是递归深度较大时可能会导致栈溢出。
• 迭代法：通过循环迭代求解，不会产生栈溢出问题，但是代码中需要使用浮点数进行计算，可能存在精度损失。
• 数学推导法：求解速度快，不需要进行循环迭代，但是需要倒推计算，不太直观，且不易推广到其他问题。