一、问题描述
分别以邻接矩阵和邻接表作为存储结构，实现以下图的基本操作：
- 增加一个新结点v，Insert(G,v)；
- 删除顶点v及其相关的边，Delete(G,v)；
- 增加一条边<v,w>，Insert(G,v,w)；
- 删除一条边<v,w>，Delete(G,v,w)；
二、设计思路
1、邻接矩阵实现：
邻接矩阵实现图的基本操作，主要通过二维数组寻址方式进行数据处理。函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。
邻接矩阵创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对二维数组初始化，边权为MaxInt，表示两点无关联。将顶点信息存储至顶点数组集中。存储数据时，依次循环根据输入边相关的两点以及权重，先通过顶点寻址函数寻找两点位置，后利用二维数组将矩阵相应位置边权赋予新值，完成数据存储。
顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。
增加顶点时，在顶点数组集中增加一位，并将邻接矩阵中多加的一行一列赋值为MaxInt。
删除顶点时，需要通过数组移动，列方面从待删点开始右侧数据，全部左移；行方面从待删顶点开始下方数据，全部上移。最后删除顶点在顶点数组中的位置。上述操作通过数组移动实现开销较大，也可以在删除时，将最后一个顶点相关信息替代删除顶点，因为本身顶点在数组中的位置无现实意义，可减少算法时间复杂度。
增加边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予新值即可。
删除边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予MaxInt即可。
邻接矩阵打印，只需通过二维数组，将其各行各列依次输出，为了增加矩阵可观性，可输出行名、列名以及控制权重输出格式。
最后通过主函数测试上述所有的函数。
2、邻接表实现：
邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。
邻接表创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对邻接表初始化，数组单元接收顶点信息，由于开始无边，将各单元firstarc指针赋NULL，避免野指针。存储边信息时，创建两个边结点并创建相应指针，在边结点中存储边权以及关联点通过顶点寻址函数查找的下标（如a、b两个顶点，则边结点e1中adjvex存放为b的下标，边结点e2中adjvex存放为a的下标）。并将边结点插入各自数组单元的关联顶点链表首结点（即被各单元firstarc指针指向）。
顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。
增加顶点，只需在邻接表数组单元vertices中存储新的顶点信息，并将其firstarc指针赋值为NULL。
删除顶点，下述操作：先删除待删顶点中所有关联顶点链表中其他顶点信息 ；用最后一个顶点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)。实现操作需要遍历邻接表数组单元vertices中关联顶点链表中所有的adjvex，与待删顶点的位置下标比对，相同时删除该结点。结点删除时，需要单独优先考虑表头首结点元素中adjvex是否为待删结点下标，循环删除至表头结点adjvex不为待删结点下标为止，遍历后续所有结点（优先考虑的原因是表头结点有一个firstarc指向问题，不考虑则会出现断链情况）。删除完待删结点在其他单元的信息时，循环待删结点所在单元格关联顶点链表所有结点，将firstarc赋值为NULL。最后将数组vertices中最后一个顶点替代待删结点位置（数组前移覆盖会增加额外的开销）。
增加边即为上述邻接表存储步骤单次操作，通过创建两个边结点，分别赋值相应数据后，插入两个对应vertices单元格的关联顶点链表的表头（即成为首结点）。
删除边，即为删除顶点中单次操作，先定位待删边的两个顶点位置，然后遍历两个顶点对应数组vertices单元中的关联顶点链表，查找adjvex的值，删除含有对应顶点位置的边结点，同样注意单独考虑首结点是否含有删除对应顶点位置信息。
用于删除函数多次使用，因此在优化时，将输出函数提取。
邻接表打印时，依次访问vertices所有单元中的关联顶点链表，输出所有其中边结点的adjvex对应的顶点信息以及边权。
最后通过主函数测试上述所有函数。
三、代码展示
1、邻接矩阵实现：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define MaxInt 32767 //初始化边权无穷大
#define MVNum 100
#define VerTexType char
#define ArcType int
typedef struct AMGraph{ //定义邻接矩阵
VerTexType vexs[MVNum]; //创建顶点集
ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //创建邻接矩阵
int vexnum,arcnum; //存放当前图的总顶点数和边数
};
int VexLocate(AMGraph &G,VerTexType u){ //返回顶点在顶点集的位置
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //循环遍历顶点集
if(u==G.vexs[i]) return i; //找到顶点返回其数组下标
}
return -1;
}
Status UDNCreate(AMGraph &G){ //无向邻接矩阵创建并存储数据
cout<<"请输入无向图总顶点数和总边数：";
cin>>G.vexnum>>G.arcnum; //输入图的顶点数和边数
cout<<"请输入顶点信息：";
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){
cin>>G.vexs[i];
}
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //初始化邻接矩阵边权为无穷
for(int j=0;j<G.vexnum;j++){
G.arcs[i][j]=MaxInt;
}
}
VerTexType v1,v2; //结点信息
ArcType w; //边权重
cout<<"请输入边的两顶点及所构边的权重："<<endl;
for(int i=0;i<G.arcnum;i++){ //利用二维数组寻址相对两点赋权
cin>>v1>>v2>>w; //依次输入两个顶点以及所构边的权重
G.arcs[VexLocate(G,v1)][VexLocate(G,v2)]=w;
G.arcs[VexLocate(G,v2)][VexLocate(G,v1)]=w;
}
return OK;
}
Status VexInsert(AMGraph &G,VerTexType v){ //插入顶点
G.vexs[G.vexnum]=v; //由于数组下标比数量少1，可用旧顶点数做下标
//增加新顶点
G.vexnum++; //顶点数加1
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //构建新顶点与其他顶点关联，初始化边权
//为无穷
G.arcs[G.vexnum-1][i]=MaxInt;
G.arcs[i][G.vexnum-1]=MaxInt;
}
}
Status VexDelete(AMGraph &G,VerTexType v){ //顶点删除
int p=VexLocate(G,v); //存放待删顶点下标位置
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //删除待删顶点所在列数据
for(int j=p+1;j<G.vexnum;j++){
G.arcs[i][j-1]=G.arcs[i][j];
}
}
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //删除待删顶点所在行数据
for(int j=p+1;j<G.vexnum;j++){
G.arcs[j-1][i]=G.arcs[j][i];
}
}
for(int i=p+1;i<G.vexnum;i++){ //删除在顶点集中的待删顶点
G.vexs[i-1]=G.vexs[i];
}
G.vexnum--; //顶点数自减
return OK;
}
Status ArcInsert(AMGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2,ArcType w)
{ //插入边
int p1=VexLocate(G,v1),p2=VexLocate(G,v2); //存放两个关联点位置
G.arcs[p1][p2]=w; //将关联点在矩阵两处边权赋值
G.arcs[p2][p1]=w;
return OK;
}
Status ArcDelete(AMGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2){//删除边
int p1=VexLocate(G,v1),p2=VexLocate(G,v2); //存放两个关联点位置
G.arcs[p1][p2]=MaxInt; //将关联点在矩阵两处边权赋为无穷
G.arcs[p2][p1]=MaxInt;
return OK;
}
Status AMGraphPrint(AMGraph &G){ //打印无向邻接矩阵
cout<<"邻接矩阵展示："<<endl;
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){
cout<<G.vexs[i]<<":"; //输出矩阵行名
for(int j=0;j<G.vexnum;j++){ //循环输出各点与其他点的边权，0为无边
if(G.arcs[i][j]!=MaxInt) cout<<G.arcs[i][j]<<"\t";
else cout<<"0"<<"\t";
}
cout<<endl;
}
return OK;
}
int main(){
AMGraph G; //创建无向邻接矩阵
UDNCreate(G); //无向邻接矩阵初始化并存储数据
AMGraphPrint(G); //打印无向邻接矩阵
VerTexType v1,v2;
ArcType w;
cout<<"请输入要插入的顶点：";
cin>>v1;
VexInsert(G,v1); //插入顶点
AMGraphPrint(G); //打印无向邻接矩阵
cout<<"请输入要删除的顶点：";
cin>>v2;
VexDelete(G,v2); //删除顶点
AMGraphPrint(G); //打印无向邻接矩阵
cout<<"请输入增加边的两个顶点及边权重：";
cin>>v1>>v2>>w;
ArcInsert(G,v1,v2,w); //插入边
AMGraphPrint(G); //打印无向邻接矩阵
cout<<"请输入删除边的两个顶点：";
cin>>v1>>v2;
ArcDelete(G,v1,v2); //删除边
AMGraphPrint(G); //打印无向邻接矩阵
return 0;
}2、邻接表实现：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define VerTexType char
#define ArcType int
#define MVNum 50
typedef struct ArcNode{ //边结点
int adjvex; //该边所指向的顶点位置
struct ArcNode* nextarc; //指向下一条边指针
int weight; //边的权重
};
typedef struct VNode{ //顶点信息
VerTexType data; //顶点数据
ArcNode *firstarc; //指向第一条与该点相连的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum]; //邻接表
typedef struct{ //定义图
AdjList vertices; //顶点表
int vexnum,arcnum; //图当前顶点数与边数
}ALGraph;
int VexLocate(ALGraph &G,VerTexType v){ //顶点定位，找出其在邻接表
//中数组下标的位置
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){
if(v==G.vertices[i].data) return i; //根据顶点数据查找，返回表中数
//组下标值
}
return -1;
}
Status ALGraphprint(ALGraph &G){ //邻接表打印函数
cout<<"操作后新的连接表如下："<<endl;
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //依次输出每个顶点与相连顶点的情况
//以及边权
cout<<G.vertices[i].data<<":"; //输出当前顶点数据
ArcNode* p=G.vertices[i].firstarc; //指向与当前顶点相连的第一个顶
//点的边的指针
while(p!=NULL){ //依次遍历所有与该顶点相连的点的边
cout<<G.vertices[p->adjvex].data<<"("<<p->weight<<")"<<"\t";
//输出与该顶点相连的所有点以及边的权重
p=p->nextarc;
}
cout<<endl;
}
return OK;
}
Status Delete(ALGraph &G,int pos1,int pos2){ //删除邻接表中，指定两
//顶点的边
ArcNode* p=G.vertices[pos1].firstarc; //指向pos1所表示顶点的与其
//第一个相连顶点的边的指针
if(p&&p->adjvex==pos2){ //由于firstarc指针固定，不能单纯删除p
//的结点，因此表头结点需要单独考虑
G.vertices[pos1].firstarc=p->nextarc; //如果表头结点存放连接信息为
//要删结点位置信息pos2，直接删除
delete p;
}
else{
while(p!=NULL){ //否则从p开始循环遍历表中所有连接点
if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos2){ //如果找到要删
//结点pos2，进行链表删除操作
ArcNode* temp=p->nextarc;
p->nextarc=p->nextarc->nextarc;
delete temp;
break;
}
p=p->nextarc; //没有找到，p指针后移
}
}
return OK;
}
Status UDGCreate(ALGraph &G){ //邻接表创建并存储数据
cout<<"请输入图的总顶点数和总边数：";
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
cout<<"请输入顶点信息：";
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //初始化表头结点指针域为NULL
cin>>G.vertices[i].data; //输入顶点数据
G.vertices[i].firstarc=NULL;
}
VerTexType v1,v2;
ArcType w;
int pos1,pos2;
cout<<"请输入边的两顶点及所构边的权重："<<endl;
for(int i=0;i<G.arcnum;i++){ //输出边的信息
cin>>v1>>v2>>w;
pos1=VexLocate(G,v1); //获取顶点v1位置
pos2=VexLocate(G,v2); //获取顶点v2位置
ArcNode* p1=new ArcNode; //创建边结点
p1->adjvex=pos2; //v1开始的边所连另一端为v2位置
p1->weight=w;
p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;
G.vertices[pos1].firstarc=p1; //将边加入v1的边表头部
ArcNode* p2=new ArcNode; //创建边结点
p2->adjvex=pos1; //v2开始的边所连另一端为v1
p2->weight=w;
p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;
G.vertices[pos2].firstarc=p2; //将边加入v2的边表头部
}
return OK;
}
Status VexInsert(ALGraph &G,VerTexType v){ //实现顶点的插入
G.vertices[G.vexnum].data=v; //由于数组下标从0开始，则新增顶点存
//放位置为G.vexnum
G.vertices[G.vexnum].firstarc=NULL; //避免野指针情况，指针域为NULL
G.vexnum++; //顶点数自增
}
Status VexDelete(ALGraph &G,VerTexType v){ //顶点删除
int pos=VexLocate(G,v); //查找待删除顶点
for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //删除其他顶点连接表中的待删除顶点信息
Delete(G,i,pos);
//下半部份代码优化为Delete()函数
// ArcNode* p=G.vertices[i].firstarc;
// if(p&&p->adjvex==pos){
// G.vertices[i].firstarc=p->nextarc;
// delete p;
// }
// else{
// while(p!=NULL){
// if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos){
// ArcNode* temp=p->nextarc;
// p->nextarc=p->nextarc->nextarc;
// delete temp;
// break;
// }
// p=p->nextarc;
// }
// }
}
//下述操作：1、先删除待删顶点中所有连接表中其他顶点信息 2、用最后一个顶
//点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)
ArcNode* p=G.vertices[pos].firstarc; //p指向待删顶点的第一个连接
//点的边的指针
G.vertices[pos].firstarc=NULL; //野指针问题，删除记得赋值为NULL，
//否则运行无结果
while(p!=NULL){ //循环删除该点连接表下所有顶点信息
ArcNode* temp=p;
p=p->nextarc;
delete temp;
}
G.vertices[pos]=G.vertices[G.vexnum-1]; //将最后一个顶点替代删除
//顶点的位置
G.vexnum--; //顶点数自减
return OK;
}
Status ArcInsert(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2,int w){
//插入边
int pos1,pos2;
pos1=VexLocate(G,v1);
pos2=VexLocate(G,v2);
ArcNode* p1=new ArcNode; //创建边结点
p1->adjvex=pos2; //v1开始的边所连另一端为v2位置
p1->weight=w;
p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;
G.vertices[pos1].firstarc=p1;//将边加入v1的边表头部
ArcNode* p2=new ArcNode; //创建边结点
p2->adjvex=pos1; //v2开始的边所连另一端为v1
p2->weight=w;
p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;
G.vertices[pos2].firstarc=p2; //将边加入v2的边表头部
G.arcnum++; //边数自增
return OK;
}
Status ArcDelete(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2){ //删除边
int pos1,pos2;
pos1=VexLocate(G,v1); //存放删除边的第一个顶点位置
pos2=VexLocate(G,v2); //存放删除边的第二个顶点位置
ArcNode* p1=G.vertices[pos1].firstarc; //指向第一个顶点的连接表中
//与该顶点相连的边的指针
ArcNode* p2=G.vertices[pos2].firstarc; //指向第二个顶点的连接表中
//与该顶点相连的边的指针
Delete(G,pos1,pos2); //在第一个顶点连接表中删除第二顶点的信息
Delete(G,pos2,pos1); //在第二个顶点连接表中删除第一顶点的信息
//下半部份代码用Delete()函数进行优化替代
// if(p1&&p1->adjvex==pos2){
// G.vertices[pos1].firstarc=p1->nextarc;
// delete p1;
// }
// else{
// while(p1!=NULL){
// if(p1->nextarc!=NULL&&p1->nextarc->adjvex==pos2){
// ArcNode* temp=p1->nextarc;
// p1->nextarc=p1->nextarc->nextarc;
// delete temp;
// break;
// }
// p1=p1->nextarc;
// }
// }
// if(p2&&p2->adjvex==pos1){
// G.vertices[pos2].firstarc=p2->nextarc;
// delete p2;
// }
// else{
// while(p2!=NULL){
// if(p2->nextarc!=NULL&&p2->nextarc->adjvex==pos1){
// ArcNode* temp=p2->nextarc;
// p2->nextarc=p2->nextarc->nextarc;
// delete temp;
// break;
// }
// p2=p2->nextarc;
// }
// }
G.arcnum--; //边数自减
return OK;
}
int main(){
ALGraph G;
UDGCreate(G); //构建图
ALGraphprint(G); //打印图
VerTexType v1,v2;
int w;
cout<<"请输入要插入的顶点：";
cin>>v1;
VexInsert(G,v1); //插入顶点
ALGraphprint(G);
cout<<"请输入要删除的顶点：";
cin>>v1;
VexDelete(G,v1); //删除顶点
ALGraphprint(G);
cout<<"请输入要插入边的两顶点及边权重：";
cin>>v1>>v2>>w;
ArcInsert(G,v1,v2,w); //插入边
ALGraphprint(G);
cout<<"请输入要删除边的两顶点：";
cin>>v1>>v2;
ArcDelete(G,v1,v2); //删除边
ALGraphprint(G);
return 0;
}四、结果展示
1、邻接矩阵结果：
2、邻接表结果：
五、算法时间复杂度
1、邻接矩阵实现图的基本操作，函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。其中操作建立于二维数组，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂度为O(n2)。
2、邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。其中操作主要建立于链表上，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂为O(n)。
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