C语言 最短路径 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

前言

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中单源最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

不太懂的可以看视频 QWQ  （来着@Abel）

Dijkstra算法讲解

算法实现：

1. 定义一个数组dist[]，dist[i]表示从起点到顶点i的最短路径长度，初始化为无穷大，dist[s]=0，其中s为起点。
2. 定义一个数组visited[]，visited[i]表示顶点i是否已经被标记为已确定最短路径的顶点，初始化为false。
3. 从dist[]中找到当前未被标记的dist[i]最小的顶点u，标记visited[u]=true。
4. 遍历所有与u相邻的顶点v，如果visited[v]=false，且从起点到u再到v的路径长度小于dist[v]，则更新dist[v]=dist[u]+w(u,v)，其中w(u,v)为边(u,v)的权值。

重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被标记为已确定最短路径的顶点。

以下是求无向网（储存方式为邻接矩阵）中起点s到各点的最短路径的代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <malloc.h>
#define MVNum 100//最大顶点数
#define MaxInt 66666//表示极大值
typedef struct {
	char vexs[MVNum];//顶点表（顶点为字符型）
	int arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵（权值为整型）
	int vexnum, arcnum;//图的当前点数和边数
}AMGraph;

//定位
int LocateVex(AMGraph* G, char v) {
	int i;
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		if (G->vexs[i] == v) {
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

//无向网的建立
AMGraph* CreateUDN() {
	int i, j, k, w;
	char v1, v2;
	AMGraph* G = malloc(sizeof(AMGraph));
	printf("输入总顶点数，边数\n");
	scanf("%d%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
	getchar();//吸收换行符
	printf("依次输入点的信息\n");
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		scanf("%c", &G->vexs[i]);
	}
	getchar();//吸收换行符
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++)
		for (j = 0; j < G->vexnum; j++) {
			if (i == j) {
				G->arcs[i][j] = 0;
			}
			else {
				G->arcs[i][j] = MaxInt;
			}
		}
	for (k = 0; k < G->arcnum; k++) {
		printf("输入一条边依附的顶点及权值\n");
		scanf("%c%c", &v1, &v2);
		scanf("%d", &w);
		getchar();//吸收换行符
		i = LocateVex(G, v1), j = LocateVex(G, v2);//确定v1、v2在顶点数组的下标
		G->arcs[i][j] = w;//边<v1,v2>权值置为w
		G->arcs[j][i] = w;//无向网对称边<v2,v2>权值也置为w
	}
	return G;
}

//输出邻接矩阵
void print(AMGraph* G) {
	int i, j;
	printf("  ");
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		printf("%c ", G->vexs[i]);
	}
	printf("\n");
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		printf("%c ", G->vexs[i]);
		for (j = 0; j < G->vexnum; j++) {
			if (G->arcs[i][j] == MaxInt)
				printf("∞ ");
			else
				printf("%d ", G->arcs[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

//迪杰斯特拉算法
void Dijkstra(AMGraph* G, int s) {
	int dist[MVNum];//用来储存各顶点与起点的距离
	bool visited[MVNum];//用来标记已确定最短路径的顶点
	int i, j, k, u, min;
	//初始化数组dist与visited
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		dist[i] = MaxInt;
		visited[i] = false;
	}
	dist[s] = 0;//起始点s最短距离为0
	//每次循环会标记一个顶点u，直到所有顶点被标记（循环次数就是顶点数-1，起点已找到最短路径0）
	for (k = 1; k < G->vexnum; k++) {
		min = MaxInt;
		//找到当前未被标记的距离起点最近的顶点u
		for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
			if (dist[i] < min && !visited[i]) {
				u = i;
				min = dist[i];
			}
		}
		visited[u] = true;//标记顶点u
		/*遍历顶点u的邻结点，当 dist[u] + G->arcs[u][j] < dist[j]时
		（顶点u距离起点s的长度dist[u]加上顶点u与邻接点j的距离G->arcs[u][j]小于顶点j距离起点s的距离dist[j]），
		更新顶点j距离起点的路径长度*/
		for (j = 0; j < G->vexnum; j++) {
			if (!visited[j] && dist[u] + G->arcs[u][j] < dist[j]) {
				dist[j] = dist[u] + G->arcs[u][j];
			}
		}
	}
	//输出结果
	for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
		printf("起点%c到顶点%c的最短路径为：%d\n", G->vexs[s], G->vexs[i], dist[i]);
	}
}

int main() {
	AMGraph* G = CreateUDN();
	printf("该无向网邻接矩阵为：\n");
	print(G);
	Dijkstra(G, 0);
}

若顶点数为n，求解最短路径的主循环共进行n-1次，每次执行的时间为，所以算法时间复杂度为。

示例：

求如下图所示v0到各点的最短路径

 运行结果如下：

A、B、C······代替v0、v1、v2······

总结

如果是有向网或者是以邻接表方式储存的有权图，算法实现流程还是一样的，只不过代码上大同小异。