【C++算法】dfs深度优先搜索(上) ——【全面深度剖析+经典例题展示】

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📕 ps:七八天没更新了欸,这几天刚搞完元宇宙,上午一直练🚗,下午背四级单词和刷题来着,还在忙一些学弟学妹录制视频和准备开学一些事,一直没空出时间来,等 20号练完车,也马上开学了QAQ。不过今天倒是空出来一些时间,恰好这几天学到了dfs,原理和例题都很棒,谨以此篇作为学后的回顾总结!

文章目录

  • 1. dfs算法原理
    • 1.1 dfs思想
    • 1.2 与递归区别
    • 1.3 举例说明
  • 2. 经典例题——迷宫游戏
    • 2.1 题干信息
    • 2.2 整体思路
    • 2.3 细分拆解
      • ①判断迷宫终点,记录所走路径
      • ②完善搜索与回溯,处理数组边界
      • ③找寻迷宫起点,打印结束路径
    • 2.4 总体代码展示
    • 2.5 测试样例
    • 2.6 代码优化
  • 最后,感谢大家支持u (^ _ ^)

1. dfs算法原理

1.1 dfs思想

  • 深度优先搜索,简称dfs,简单讲就是一个搜索算法。
  • 深搜是按照深度优先的方式进行搜索,通俗来讲就是一条路走到黑不撞南墙不回头
  • 注意:这里的搜索并不是我们平时在文件上或网络上查找信息,而是通过一种穷举的方式,把所有可行的方案都列举出来,不断去尝试,直到找到问题的解。
  • 具体来讲,dfs可以将“问题状态空间”看做一棵搜索树,深度优先就是从树根一直往下搜,遇到不可解就回溯,往其它方向继续向下扩展,像子集和和全排列问题,还有N皇后问题都可以深度优先搜索算法解决,它是一种暴力解决NP问题的非常直观的方法。
  • 总的来说:DFS 用于找所有解的问题,它的空间效率高,而且找到的不一定是最优解,必须记录并完成整个搜索,故一般情况下,深搜需要非常高效的剪枝(剪枝的概念请百度)。

1.2 与递归区别

  • 深搜是一种算法,注重的是思想;而递归是一种基于编程语言的实现方式。
  • 深搜可以用递归实现,也就是说递归是我们用计算机编程语言实现深搜算法的手段。

1.3 举例说明

如下图,灰色代表墙壁,绿色代表起点,红色代表终点,规定每次只能走一步,且只能往下或右走。求一条绿色到红色的最短路径。例子来源于这里

用dfs来讲就是,先从绿点开始找准一个方向,并沿这个方向一直遍历,如果遇到障碍物不能继续遍历就回溯,返回上一个节点,直到找到终点为止。请添加图片描述

2. 经典例题——迷宫游戏

都学了这么多了。我们不妨来玩一个迷宫游戏巩固一下所学的算法!【迷宫如图下所示】

最短的解法如下图所示【大家答对了嘛】

2.1 题干信息

  • 我们用一个二维字符数组来表示图画的迷宫。
S**.
....
***T
  • 其中S表示起点,T表示终点,*表示墙壁,.表示平地。你需要从S出发走到T,每次只能向上下左右相邻的位置移动一位,不能走出地图,也不能穿过墙壁,每个点只能通过一次。用x表示你所要走的路线。

2.2 整体思路

  • 我们从起点S开始,每走一步需要对上下左右一个方向一个方向地尝试,如果沿着某个方向不能走到终点,我们就要原路返回,继续尝试其他方向,直到走出迷宫。这是一种最朴素的走迷宫方式,虽然效率也许比较低,但如果迷宫有解,就一定能走出终点。
  • 上面说的这种走法,就对应着今天学习的dfs算法。首先找到起点s,走到每个点时,按照左、下、右、上的顺序尝试。每走到下一个点以后,我们把这个点当做起点S,继续按顺序尝试。如果某个点上下左右四个方向都尝试过,便回到走到这个点之前的点,这一步我们称之为回溯。继续尝试其他方向。直到所有点都尝试过上下左右四个方向。
  • 这就好比你自己去走这个迷宫,你也要一个方向一个方向的尝试着走,如果这条路不行就回头,尝试下一条路,dfs 的思想和我们直观的想法很类似。只不过,接下来我们需要用程序来完成这个过程。

2.3 细分拆解

第一步前的输入地图和变量设置,就不详细讲了,直接看代码即可

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int n, m;
char pos[150][150];	   //判断走没走过
bool trace[150][150];  //显示路径

int main() {
	//输入地图
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> pos[i][j];
		}
	}
	return 0;
}

①判断迷宫终点,记录所走路径

  • 首先确定边界条件,当走到字符T时,我们找到了终点,从而结束搜索。所以边界条件判断为pos[x][y] == 'T'
  • 其次,为了防止走回头路,我们需要标记当前这个路径已走过,即当前这个点已走过,所以我们需要用trace[x][y]数组来做标记,为了显示出路径,走过的点我们用字符x表示。
bool dfs(int x, int y) {
	if (pos[x][y] == 'T') { //找到终点,返回true
		return true;
	}
	trace[x][y] = 1;		//若找不到,则trace数组标记为1表示已走过
	pos[x][y] = 'x';		//用pos显示最后的路径
}

②完善搜索与回溯,处理数组边界

  • 结束操作处理好后,就要开始真正的搜索了。假设现在我们坐标为(x, y),分别遍历该坐标的上下左右位置,选择好依次进行方向的顺序后,一个方向一个方向进行访问,如果某一方向能走到终点,则返回true
  • 在上下左右遍历时,我们要考虑数组元素是否越界,此时我们就需要一个bool类型的check_in()函数进行判断。
  • 注意:判断移动后位置能走的3个条件【缺一不可】
    • ①没越界,在地图内;
    • ②这个位置不是障碍物*,可以走到;
    • ③该位置之前没走过
bool check_in(int x, int y) {	//	判断数组是否越界
	return (x > 0 && x <= n && y > 0 && y <= m); //这里表示的是如果()里为真,则返回true,否则返回false
}

bool dfs(int x, int y) {
	if (pos[x][y] == 'T') { //找到终点,返回true
		return true;
	}
	trace[x][y] = 1;		//若上下左右都找不到,则trace数组标记为1表示已走过
	pos[x][y] = 'x';		//用pos显示最后的路径

	int tx = x - 1, ty = y; //假设先往上走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) { //能移动到该位置的条件有三个:①没越界,在地图内; ②这个位置不是障碍物*,可以走到; ③该位置之前没走过
		if (dfs(tx, ty)) {	//对移动后位置进行判断是不是终点,如果是,返回true,如果不是,在对其上下左右判断。
			return true;
		}
	}

	tx = x, ty = y - 1; //如果往上走行不通,则选择向左走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	tx = x + 1, ty = y; //如果往左走行不通,则选择向下走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	tx = x , ty = y + 1; //如果往下走行不通,则选择向右走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	pos[x][y] = '.';	//	如果一个位置的上下左右都走不了,则取消该位置的路径进行回溯,回溯过程把之前已标记的'x'改回'.'
	trace[x][y] = 0;//只找可行路线的话,trace可改可不改。但如果找全部解,则需要恢复
	return false;
}

大家有没有发现判断上下左右是否可行时,主题代码是不是都是一样的欸?所以大家可以想一下,能怎么去优化一下嘛,在这里我卖个关子,咱们后面马上讲!

③找寻迷宫起点,打印结束路径

  • 我们费心费力地把迷宫主体的dfs的函数写完了,但我们该从哪开始呢?结束条件如何设置呢?
int main() {
	//输入地图
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> pos[i][j];
		}
	}
	cout << "----------------------------------------" << endl;

	//找寻起点
	int x , y ; //定义x,y用于保存迷宫起点时的位置
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (pos[i][j] == 'S') {
				x = i, y = j;
			}
		}
	}
	if (dfs(x, y)) { //如果能找到终点,则打印迷宫显示其路径
		cout << "鼠鼠我欸,已到达终点啦,路线如下: " << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				cout << pos[i][j];
			} cout << endl;
		}
	}
	else {
		cout << "鼠鼠我欸,走不出去啦awa" << endl;
	}
	return 0;
}

2.4 总体代码展示

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;

int n, m;
char pos[150][150];	   //判断走没走过
bool trace[150][150];  //显示路径

bool check_in(int x, int y) {	//	判断数组是否越界
	return (x > 0 && x <= n && y > 0 && y <= m); //这里表示的是如果()里为真,则返回true,否则返回false
}

bool dfs(int x, int y) {
	if (pos[x][y] == 'T') { //找到终点,返回true
		return true;
	}
	trace[x][y] = 1;		//若上下左右都找不到,则trace数组标记为1表示已走过
	pos[x][y] = 'x';		//用pos显示最后的路径

	int tx = x - 1, ty = y; //假设先往上走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) { //能移动到该位置的条件有三个:①没越界,在地图内; ②这个位置不是障碍物*,可以走到; ③该位置之前没走过
		if (dfs(tx, ty)) {	//对移动后位置进行判断是不是终点,如果是,返回true,如果不是,在对其上下左右判断。
			return true;
		}
	}

	tx = x, ty = y - 1; //如果往上走行不通,则选择向左走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	tx = x + 1, ty = y; //如果往左走行不通,则选择向下走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	tx = x , ty = y + 1; //如果往下走行不通,则选择向右走
	if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
		if (dfs(tx, ty)) {
			return true;
		}
	}

	pos[x][y] = '.';	//	如果一个位置的上下左右都走不了,则取消该位置的路径进行回溯,回溯过程把之前已标记的'x'改回'.'
	trace[x][y] = 0;//只找可行路线的话,trace可改可不改。但如果找全部解,则需要恢复
	return false;
}
int main() {
	//输入地图
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> pos[i][j];
		}
	}
	cout << "----------------------------------------" << endl;
	//找寻起点
	int x , y ; //定义x,y用于保存迷宫起点时的位置
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (pos[i][j] == 'S') {
				x = i, y = j;
			}
		}
	}
	if (dfs(x, y)) { //如果能找到终点,则打印迷宫显示其路径
		cout << "鼠鼠我欸,已到达终点啦,路线如下: " << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				cout << pos[i][j];
			} cout << endl;
		}
	}
	else {
		cout << "鼠鼠我欸,走不出去啦awa" << endl;
	}
	return 0;
}

2.5 测试样例

2.6 代码优化

  • 前面提到,我们在对下一位置进行上下左右判断时,需要写四个主体相同的代码。为了减少代码量,我们不妨写一个循环,用一个二维数组依次表示四个方向,进而进行判断。
int dir[4][2] = { { -1 , 0 } , { 0 , -1 } , { 1 ,  0 } , { 0 , 1 } };
//	按逆时针依次表示     向上	      向左		 向下	         向右	
//第一个数表示x(行)变化,第二个表示y(列)变化
bool dfs(int x, int y) {
	if (dfs(x, y) == 'T') {
		return true;
	}
	trace[x][y] = 1;
	pos[x][y] = 'x';
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {  //1、2、3、4依次表示上、左、下、右
		int tx = x + dir[i][0]; //表示x加上第几个方向的第1个数,即行变化,
		int ty = y + dir[i][1];  //表示x加上第几个方向的第2个数,即列变化,
		if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
			if (dfs(tx, ty)) {
				return true;
			}
		}
	}
	pos[x][y] = '.';	//	如果一个位置的上下左右都走不了,则取消该位置的路径进行回溯,回溯过程把之前已标记的'x'改回'.'
	trace[x][y] = 0;//只找可行路线的话,trace可改可不改。但如果找全部解,则需要恢复
}

优化后代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;

int n, m;
char pos[150][150];	   //判断走没走过
bool trace[150][150];  //显示路径
		int dir[4][2] = { { -1 , 0 } , { 0 , -1 } , { 1 ,  0 } , { 0 , 1 } };
//	按逆时针依次表示     向上	      向左		 向下	         向右	
//第一个数表示x(行)变化,第二个表示y(列)变化

bool check_in(int x, int y) {	//	判断数组是否越界
	return x > 0 && x <= n && y > 0 && y <= m; //这里表示的是如果()里为真,则返回true,否则返回false
}

bool dfs(int x, int y) {
	if (dfs(x, y) == 'T') {
		return true;
	}
	trace[x][y] = 1;
	pos[x][y] = 'x';
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {  //1、2、3、4依次表示上、左、下、右
		int tx = x + dir[i][0]; //表示x加上第几个方向的第1个数,即行变化,
		int ty = y + dir[i][1];  //表示x加上第几个方向的第2个数,即列变化,
		if (check_in(tx, ty) && pos[tx][ty] != '*' && !trace[tx][ty]) {
			if (dfs(tx, ty)) {
				return true;
			}
		}
	}
	pos[x][y] = '.';	//	如果一个位置的上下左右都走不了,则取消该位置的路径进行回溯,回溯过程把之前已标记的'x'改回'.'
	trace[x][y] = 0;//只找可行路线的话,trace可改可不改。但如果找全部解,则需要恢复

}


int main() {
	//输入地图
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> pos[i][j];
		}
	}
	cout << "----------------------------------------" << endl;
	//找寻起点
	int x , y ; //定义x,y用于保存迷宫起点时的位置
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (pos[i][j] == 'S') {
				x = i, y = j;
			}
		}
	}
	if (dfs(x, y)) { //如果能找到终点,则打印迷宫显示其路径
		cout << "鼠鼠我欸,已到达终点啦,路线如下: " << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				cout << pos[i][j];
			} cout << endl;
		}
	}
	else {
		cout << "鼠鼠我欸,走不出去啦awa" << endl;
	}
	return 0;
}

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