【从零开始数学建模（3）】敏感性和鲁棒性分析例

敏感性与强健（鲁棒）性

灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

——引自百度百科

简而言之：敏感性是指改变模型（公式）的某个参数，引起这个模型输出的变化的程度。

鲁棒（robust）是指系统或算法对于无序变化或干扰的能力。具有鲁棒性的系统或算法能够在应对外部环境的变化或噪声干扰时保持良好的性能。在统计学中，鲁棒性是指对于偏离标准模型的数据分布，估计方法能够保持一定的精度和效率。在计算机科学中，鲁棒性是指算法在输入数据中包含错误或异常值时仍能维持正确的结果。

简而言之：鲁棒性是指模型（公式）数据有波动干扰时，模型输出抗波动干扰的能力。

分析例题

以一道简单的优化问题来看敏感性和鲁棒性：

一饲养场每日投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80kg重的生猪每天增加2kg。目前生猪出售的市场价格为8元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪。如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响。

问题分析

投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价（单价）随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使得获得利润最大。这是一个优化问题，根据给出条件，可作出如下简化架设：

模型假设

每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数 $r(=2kg)$ ；

生猪出售的市场价格每天降低常数 $g(=0.1yuan)$ 。

模型建立

给出以下记号：

$t$ ~ 时间（天）
$w$ ~ 生猪体重（kg）
$p$ ~ 单价（元）
$R$ ~ 出售的收入（元）
$C$ ~ t投入的资金（元）
$Q$ ~ 纯利润（元）

按照假设， $w=80+rt(r=2)$ ， $p=8-gt(g=0.1)$ 。又知道 $R=pw$ ， $C=4t$ ，再考虑到纯利润应该扣掉以当前价格（8元/kg）出售80kg生猪的收入，有 $Q=R-C-8\times 80$ ，得到目标函数（纯利润）为

$Q(t)=(8-gt)(80+rt)-4t-640$

（1）

其中 $r=2,g=0.1$ .求 $t(\geq 0)$ 使 $Q(t)$ 最大.

模型求解

这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到：

$t=\frac{4r-40g-2}{rg}$

（2）

当 $r=2,g=0.1$ 时， $t=10,Q(10)=20$ ，即10天后出售，可得到最大纯利润20元。

敏感性分析

由于模型假设中的参数（生猪每天体重的增加 $r$ 和价格的降低 $g$ ）是估计和预测的，所以应该研究它们有所变化时对模型结果的影响。

1.设每天生猪价格的降低 $g=0.1$ 元不变，研究 $r$ 变化的影响，由（2）式可得

$t=\frac{40r-60}{r},r\geq 1.5$

（3）

$t$ 是 $r$ 的增函数，图1给出他们的关系。

2.设每天生猪体重的增加 $r=2kg$ 不变，研究 $g$ 变化的影响，由（2）式可得

$t=\frac{3-20g}{g},0\leq g\leq 0.15$

（4）

$t$ 是 $g$ 的减函数，图2给出它们的关系。

可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。 $t$ 对 $r$ 的敏感度记作 $S(t,r)$ ，定义为

$S(t,r)=\frac{\Delta t/t}{\Delta r/r}\approx \frac{dt}{dr}\frac{r}{t}$

（5）

由（3）式，当 $r=2$ 时可算是

$S(t,r)\approx\frac{60}{40r-60}=3$

（6）

即生猪每天的体重 $r$ 增加1%，出售时间推迟3%。

类似地定义 $t$ 对 $g$ 的敏感度 $S(t,g)$ ，由（4）式，当 $g=0.1$ 时可算出

$S(t,g)=\frac{\Delta t/t}{\Delta g/g}\approx \frac{dt}{dg}\frac{g}{t}=-3$

（7）

即生猪价格每天的降低 $g$ 增加1%，出售时间提前3%。 $r$ 和 $g$ 的微小变化对模型结果的影响不大

鲁棒性（Robustness）分析

建模过程中假设了生猪体重的增加和价格的降低都是常数，由此得到 $w$ 和 $p$ 都是线性函数，这无疑是对现实情况的简化。更实际的模型应考虑非线性和不确定性，如记 $w=w(t)$ ， $p=p(t)$ ，则（1）式应为

$Q(t)=p(t)w(t)-4t-640$

（8）

用微分法求解（8）式的极值问题，可知最优解应满足

$p{}'(t)w(t)+p(t)w{}'(t)=4$

（9）

（9）式左端是每天收入的增值，右端是每天投入的资金。于是出售的最佳时机是保留生猪直到每天收入的增值等于每天投入的资金为止。本例中 ${p}'=-0.1$ ， ${w}'=2$ 是根据估计和预测确定的，只要它们的变化不大，上述结论就是可用的。

另外，从敏感性分析知， $S(t,r)=3$ ，所以若 $1.8\leqslant {w}'\leqslant 2.2$ （10%以内），则结果应为 $7\leqslant t\leqslant 13$ （30%以内）。若设 ${p}'=-0.1$ 是最坏的情况，如果这个（绝对）值更小， $t$ 就应该更大。所以最后的办法是：过大约一周后重新故居 $p$ ， ${p}'$ ， $w$ ， ${w}'$ ,再作计算。