【动态规划】代码随想录算法训练营第四十一天 |01.背包理论基础，01.背包问题，你该了解这些！滚动数组，416.分割等和子集（待补充）

01.背包问题，你该了解这些！

1、题目链接：无

2、文章讲解：代码随想录

3、思路

这周我们正式开始讲解背包问题！

背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的pdf。

但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

至于背包九讲其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

#01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

#二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

1. 确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i – 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i – 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i – 1][j – weight[i]]推出，dp[i – 1][j – weight[i]] 为背包容量为j – weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]);

1. dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。    dp[0][j] = 0;}// 正序遍历for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {    dp[0][j] = value[0];}

此时dp数组初始化情况如图所示：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：

最后初始化代码如下：

// 初始化 dpvector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {    dp[0][j] = value[0];}

费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

1. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);    }}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

例如这样：

// weight数组的大小 就是物品个数for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);    }}

为什么也是可以的呢？

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i – 1][j – weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i – 1][j – weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

1. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

void test_2_wei_bag_problem1() {    vector<int> weight = {1, 3, 4};    vector<int> value = {15, 20, 30};    int bagweight = 4;    // 二维数组    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));    // 初始化    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {        dp[0][j] = value[0];    }    // weight数组的大小 就是物品个数    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);        }    }    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;}int main() {    test_2_wei_bag_problem1();}

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题(opens new window)去练习，题意是一样的，代码如下：

//二维dp数组实现#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间void solve() {    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值    for(int i = 0; i < n; ++i) {        cin >> weight[i];    }    for(int j = 0; j < n; ++j) {        cin >> value[j];    }    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值    // j < weight[0]已在上方被初始化为0    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {        dp[0][j] = value[0];    }    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);        }    }    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;}int main() {    while(cin >> n >> bagweight) {        solve();    }    return 0;}

#总结

讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。

可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。

下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异，敬请期待！

0-1背包理论基础（二）

今天我们就来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。

那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

#一维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i – 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j – weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i – 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

1. 一维dp数组的递推公式

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

dp[j]可以通过dp[j – weight[i]]推导出来，dp[j – weight[i]]表示容量为j – weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j – weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j – 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j – weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

1. 一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j – weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

1. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);    }}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 – weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 – weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 – weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 – weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i – 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

（这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

1. 举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

C++代码如下：

void test_1_wei_bag_problem() {    vector<int> weight = {1, 3, 4};    vector<int> value = {15, 20, 30};    int bagWeight = 4;    // 初始化    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);        }    }    cout << dp[bagWeight] << endl;}int main() {    test_1_wei_bag_problem();}

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题(opens new window)去练习，题意是一样的，代码如下：

// 一维dp数组实现#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main() {    // 读取 M 和 N    int M, N;    cin >> M >> N;    vector<int> costs(M);    vector<int> values(M);    for (int i = 0; i < M; i++) {        cin >> costs[i];    }    for (int j = 0; j < M; j++) {        cin >> values[j];    }    // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0    vector<int> dp(N + 1, 0);    // 外层循环遍历每个类型的研究材料    for (int i = 0; i < M; ++i) {        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);        }    }    // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值    cout << dp[N] << endl;    return 0;}

可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！ 初始化 和 遍历顺序相对简单了。

所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！

在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。

#总结

以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。

就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案！

此时01背包理论基础就讲完了，我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍，没有放过任何难点。

大家可以发现其实信息量还是挺大的。

如果把动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)和本篇的内容都理解了，后面我们在做01背包的题目，就会发现非常简单了。

不用再凭感觉或者记忆去写背包，而是有自己的思考，了解其本质，代码的方方面面都在自己的掌控之中。

即使代码没有通过，也会有自己的逻辑去debug，这样就思维清晰了。

416. 分割等和子集

1、题目链接：. – 力扣（LeetCode）

2、文章讲解：代码随想录

3、题目：

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

• 输入: [1, 5, 11, 5]
• 输出: true
• 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

• 输入: [1, 2, 3, 5]
• 输出: false
• 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

4、视频链接：

动态规划之背包问题，这个包能装满吗？| LeetCode：416.分割等和子集_哔哩哔哩_bilibili

class Solution {    public boolean canPartition(int[] nums) {        if (nums == null || nums.length == 0) return false;        int n = nums.length;        int sum = 0;        for (int num : nums) {            sum += num;        }        //总和为奇数，不能平分        if (sum % 2 != 0) return false;        int target = sum / 2;        int[] dp = new int[target + 1];        for (int i = 0; i < n; i++) {            for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {                //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);            }            //剪枝一下，每一次完成內層的for-loop，立即檢查是否dp[target] == target，優化時間複雜度（26ms -> 20ms）            if (dp[target] == target)                return true;        }        return dp[target] == target;    }}