数据结构——lesson12排序之归并排序

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前面我们学习过六种排序——直接插入排序、希尔排序、直接选择排序、堆排序、冒泡排序和快速排序，今天我们就来学习归并排序🥳🎉🎉🎉

1.归并排序

基本思想： 归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide andConquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并排序核心步骤：

归并排序的步骤类似于二叉树的后序遍历，先一直分解到不能再分，然后对两个子序列合并排序，最终得到全部排序好的序列；

1.1归并排序（递归版）

在上图中我们看到它把序列拿下来排好后再放回原序列，归并排序需要在内存中重新开辟一个数组来存放排好的子序列，然后再拷贝回原数组，这样可以防止在原数组中操作困难以及很多错误的发生；
步骤：
①使用malloc函数开辟一个大小为原数组的空间存放在tmp中；
②重新构造递归函数（因为如果在原来的函数中递归，那么每次都会malloc开辟一个数组，不合适）_mergesort();
③分解数列，进行递归，创建mid遍量，从中间开始分割；
④当只有一个数时就不再分割（也就是begin>=end时）；
⑤对子序列进行归并排序；

void _mergesort(int* a,int begin,int end, int* tmp)
{
	//递归结束条件
	if (begin >= end)
		return;
	//分左右区间
	
	int mid = (begin + end) / 2;
	_mergesort(a, begin, mid,tmp);
	_mergesort(a, mid+1, end,tmp);
	//归并排序
	int begin1 = begin;
	int end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1;
	int end2 = end;
	int i = begin;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] <= a[begin2])
		{
			tmp[i++] = a[begin1];
			begin1++;
		}
		else
		{
			tmp[i++] = a[begin2];
			begin2++;
		}
	}
	//如果最后begin1的序列有剩余
	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[i++] = a[begin1++];
	}
	//如果最后begin2的序列有剩余
	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[i++] = a[begin2++];
	}
	//最后再拷贝回原数组
	memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));

}

// 归并排序递归实现
void MergeSort(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
	
	_mergesort(a,0,n-1,tmp);
	free(tmp);//释放内存空间
}

结果如下：
上面一排是排序前，下面一排是用归并排序排完序后

1.2归并排序（非递归版）

归并排序非递归版主要是通过循环来实现两两归并；
步骤如下：
①使用malloc开辟tmp数组来存放归并好的数；
②创建gap来设定每次归并的序列的范围；
③利用while循环来实现整个序列的多次归并；
④while循环内部与递归的归并对子序列排序类似，不同的是需要嵌套for循环来实现多个gap范围的序列归并（因为此时已经将整个序列分成每gap个为一组，所以需要for循环来控制，使得这些序列全部都两两归并）；
⑤归并完了后要使用memcpy函数将数据拷贝回原数组；

// 归并排序非递归实现
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);//开辟数组来归并
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	int gap = 1;//定义每次归并范围
	
	while (gap < n)//gap不能==n，因为此时？
	{
		int j = 0;//记录tmp数组下标
		//每次距离为gap的两组归并
		for (int i = 0; i < n; i+=2*gap)
		{
			int begin1 = i;
			int end1 = i + gap - 1;
			int begin2 = i + gap;
			int end2 = i + 2 * gap - 1;
			if (end1 >= n || begin2 >= n)
			{
				end1 = n - 1;
				break;
			}
			if (end2 >= n)
			{
				end2 = n - 1;
			}
			//归并
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] <= a[begin2])
				{
					tmp[j++] = a[begin1];
					begin1++;
				}
				else
				{
					tmp[j++] = a[begin2];
					begin2++;
				}
			}
			//如果最后begin1的序列有剩余
			while (begin1 <= end1)
			{
				tmp[j++] = a[begin1++];
			}
			//如果最后begin2的序列有剩余
			while (begin2 <= end2)
			{
				tmp[j++] = a[begin2++];
			}
			memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int)*(end2 - i + 1));
		}
		gap *= 2;
	}
	free(tmp);
}

结果如下：

✨✨这里要注意两点：
🥳🥳（1）将数组每gap为一组分完后进行两两归并时，可能出现三种情况：
💥 ①到最后可能第一个序列存在，下一个序列不存在也就是begin2>=n的情况；
💥②还可能出现第一个序列只有一部分也就是end1>=n的情况；
💥 ③第二个序列只有一部分存在也就是end2>=n的情况；
出现①②两种情况说明最后一组只有一组或半组，这时不需要再归并，将end2 = n -1，并break跳出循环即可；
情况③有两组可以归并，但是第二组不完整，所以此时需要将end2 = n-1,不跳出循环继续归并即可；
🥳🥳（2）memcpy将tmp中归并的数拷贝回原数组时;
💥①可以考虑在for循环内部每次归并完两个序列后拷贝回去（上述代码就是使用这种）此时：
memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int)*(end2 - begin1 + 1))
要注意拷贝的位置要+i，并且拷贝的个数也应该是归并的两个序列的长度，（但是不能使用2*gap因为会出现上面的（1）问题，有可能序列不存在或部分存在）所以序列长度应该是end2 – i;
💥②可以在每次完整归并完距离为gap的序列后再进行拷贝，此时：
memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);
如下图所示：
此时不需要考虑拷贝的位置，直接全部拷贝即可；

？？真的以为这么简单吗？？？不可能，绝对不可能😭😭
刚刚将十个数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9改成九个数据1，2，3，4，5，6，7，8，9结果如下：

可恶又错了，得重新捋一遍：
现在我们是要等for循环一遍将间距为gap的组两两归并，直到全部归并完再进行拷贝，之前是for循环内部每两组归并完就拷贝，那为什么全部归并完再拷贝会出错呢？？？
捋一遍发现：
if (end1 >= n || begin2 >= n) { end1 = n - 1; break; }
这里有问题，在只有一个序列或半个序列时，我们直接跳出了循环，也就是此时原数组后面的数根本没有输入到tmp数组里面，此时tmp后面的数是不知道是什么的，然后你再全部一拷贝回原数组，这样不仅不能排序，还会将原数组的数给覆盖掉，所以如果要使用： memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);
我们不能再次使用上面的if语句，需要改一改：

if (end1 >= n || begin2 >= n)
{
	end1 = n - 1;
	//break
	//不能跳出循环，需要将序列1的数录入到tmp数组中，所以只要设置序列2不存在即可
	//要是序列2不存在，只需begin2 > end2 即可
	begin2 = i + 1;
	end2 = i;
}

结果如下：

此时就可以使用 memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);啦🥳🥳🥳

注意不可以在跳出break循环后再进行拷贝哦~因为这样没办法知道之前归并好的数据是什么，所以没办法进行归并排序💫💫

2.归并排序复杂度分析

2.1空间复杂度

无论递归还是非递归，我们都使用malloc函数开辟了tmp数组，大小是n，所以它的空间复杂度是O(n);🥳🥳🥳

2.2时间复杂度

我们可以利用非递归的来看归并排序的时间复杂度：
①首先，无论gap是什么，都需要借助for循环来遍历一遍数组进行归并排序每一遍都是n；
②所以只需要确定while循环多少次即可，有因为while循环条件是gap < n，每次gap*=2；
③所以while循环log(n)次所以归并排序非递归的时间复杂度是O(nlogn）；
而非递归是利用while循环对递归的另一种表现形式，它们的原理逻辑都是一样的，所以递归版的时间复杂度也应该是O(nlogn);🥳🥳🥳

3.结语

我们学习了归并排序的两种实现——递归与非递归版；并分析了归并排序的时间和空间复杂度，以上就是归并排序的所有内容啦~ 完结撒花~🥳🎉🎉🎉