【算法】动态规划练习（一）

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泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

分析

根据题目中的Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2，可以转换为n>=3时，Tn = Tn-1+ Tn-2 + Tn-3。

在求解动态规划的题目时，我们可以分为五个步骤：

1.状态表示

状态表示简而言之就是dp表里面某个值所代表的含义。

要得到dp表，基本上可以按照题目要求、做题经验、发现重复子问题三个步骤。

针对这个题目，可以根据题目要求得出，dp[i]表示第 i 个泰波那契数。

2.状态转移方程

状态转移方程就是得到 dp[i] 等于什么。

这个题目中比较明显，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]

3.初始化

初始化就是为了保证后续填dp表的时候不越界。

这个题目中就需要先填    dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1

4.填表顺序

为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了。

这个题目已经给出了前三个状态的值，所以就按照从左向右的顺序进行填表。

5.返回值

这个也是由题目要求和前面的状态表示来决定。

这个题目中就可以直接返回 dp[n]。

代码

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        vector<int>nums(n,0);
        //初始化
        nums[0]=0;
        nums[1]=1;
        nums[2]=1;
        //填表
        for(int i=3;i<=n;i++)
        nums[i]=nums[i-1]+nums[i-2]+nums[i-3];
        return nums[n];

    }
};

面试题 08.01. 三步问题 

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

示例2:

 输入：n = 5
 输出：13

提示:

1. n范围在[1, 1000000]之间

分析

1.状态表示

状态表示简而言之就是dp表里面某个值所代表的含义。

针对这个题目，可以根据题目要求得出，dp[i]表示到达第i个位置时，一共有多少种方法。

2.状态转移方程

这个题目要根据 i 位置的状态，最近的一步来划分问题。

3.初始化

初始化就是为了保证后续填dp表的时候不越界。

根据题干          dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4

4.填表顺序

为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了。

这个题目已经给出了前三个状态的值，所以就按照从左向右的顺序进行填表。

5.返回值

这个也是由题目要求和前面的状态表示来决定。

这个题目中就可以直接返回 dp[n]。

代码

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) {
        long long mod=1000000007;
        vector<long long>dp(n+5);
        //初始化
        dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
        //填表
        for(int i=4;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%mod+dp[i-3])%mod;
        }
        return dp[n];
    }
};

 746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

分析

1.状态表示

经验+题目要求

针对这个题目，可以根据题目要求得出，dp[i]表示到达 i 位置时的最小花费。

2.状态转移方程

主要是用之前或者之后的状态来推导 dp[i] 的值。

这里根据最近的一步，来划分问题。

3.初始化

初始化就是为了保证后续填dp表的时候不越界。

根据题干          dp[1]=0,dp[1]=0

4.填表顺序

为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了。

根据题目可以得出前两个个状态的值，所以就按照从左向右的顺序进行填表。

5.返回值

这个也是由题目要求和前面的状态表示来决定。

这个题目中就可以直接返回 dp[n]。

代码

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n=cost.size();
        vector<int>dp(n+1);
        //以i位置为结尾的最小花费
        dp[0]=dp[1]=0;
        //从左往右
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[n];        
    }
};