【数据结构】二叉树

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@水墨不写bug

 （图片来源于网络）

正文开始：

（一）树

        树是一种特殊的非线性数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
        树有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
        除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

 

        一棵非空的树可以分为一个节点和构成它的n个子树，而一颗子树也可以分为一个节点和构成它的n个子树，以此类推……（因此树是递归定义的）

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的一些基本概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；

（如上图：A节点的度为6）
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；

（如上图：B，C，H，I，P，Q，K，L，M，N节点为叶节点）
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；

（如上图：D、E、F、G…等

（如上图：B，C，H，I，P，Q，K，L，M，N节点为叶节点）

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；

（如上图：D，E，F，G，J节点为分支节点）
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

（如上图：A是B的父节点）
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

（如上图：B是A的孩子节点）
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

（如上图：B、C是兄弟节点）
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

（如上图：树的度为6）
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；

（如上图：树的高度为4）
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；

（如上图：H、I互为兄弟节点）
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

（如上图：A是所有节点的祖先）
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

（如上图：所有节点都是A的子孙）
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

（文本来源@比特就业课）

（二）树的表示

        想要完整的反应一棵树的节点间的关系，意味着要在保存数据的同时也要保存节点之间的关系，基于这样的目的，衍生出了多种存储树形结构的方式，比如有双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等，每一种表示方法都完整的保存了二叉树的数值域和指针域：

        其中，应用最多，最广泛的是孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;

struct Node
{
    struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点

    struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点

    DataType _data; // 结点中的数据域
};

        简单来说，就是左孩子右兄弟：

        第一个指针指向第一个孩子节点（最左侧），第二个指针指向同父的兄弟节点。

        （如下图，A的第一个孩子指针指向其第一个孩子B，而A由于是根节点，没有兄弟节点；B的第一个孩子指针指向其第一个孩子D，B的第二个指针指向其同父的兄弟节点；C的第一个孩子指针指向其第一个孩子G，而C没有没有兄弟节点……）

（图片来源于@比特就业课）

         上图的树形结构关系转化为孩子兄弟表示法存储后，其结构表示为：

 （黑色的线表示左孩子指针，绿色的线表示右兄弟指针）

 （三）树的应用

         其实，我们常用的windows和linux的文件目录结构就是一棵或者多棵树：

 （Windows文件目录的树形结构）

 （windows文件目录的树形结构）

（图片来源于网络）

 （四）二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

        1. 或者为空                         【空二叉树】
        2. 或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

 

         通过对二叉树数据结构的分析，我们可以得出结论：

（1）二叉树的结构特点： 

        1. 二叉树不存在度（节点个数）大于2的结点；
        2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树；
        3. 二叉树是一棵递归定义的树，对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
 （图片来源于@比特就业课）

i，特殊二叉树的结构

         1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，每一层都是满节点（2^(K-1)）个节点，且结点总数是（2^K-1） ，则它就是满二叉树。
        2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当 它除了最后一层外，其他层的结点数都达到了最大值，而且最后一层的结点都连续集中在最左边。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 （图片来源于@比特就业课）

（2）二叉树的性质

         我们可以认为根节点的层数为1，也可以认为根节点的层数是0；但是把根节点的层数认为是1是更好的选择。因为如果把根节点的层数当作0，那么空树就只能用-1来表示，但是-1没有实际意义。于是，把0看做空树，把1看做根节点的层数是更优越的选择。

        如果把1看做根节点的层数，那么二叉树具有如下性质：

        其实二叉树的性质很简单，我们不用复杂的数学语言，而是用实际的视觉效应来展示二叉树的性质：

        （若规定根节点的层数为1，则二叉树具有如下性质）

        1.二叉树的分类概念及其范围：

请仔细观察——>  树  包含  二叉树  包含  完全二叉树  包含  满二叉树

        2.通过解一个简单的方程，如果规定二叉树的高度为H，二叉树的节点数为n，若此树为满二叉树，则树的高度：

h = log2（n+1）——（以二为底，n+1的对数）

        3.如果一个完全二叉树有n个节点，并且按照从上到下从左到右的顺序在线型数据结构中从0开始编号，则对于序号为i的节点，有：

        对任意一个节点，编号为i，则他的左孩子节点的编号为 2 * i + 1；他的右孩子节点的编号为2 * i + 2；

        实际上的二叉树是无法直接存储数据的，有价值的二叉树特例是堆，接下来，我们会进一步理解堆的意义和具体价值！欢迎来访！

 回顾

目录

（一）树

（二）树的表示

 （三）树的应用

 （四）二叉树

（1）二叉树的结构特点： 

i，特殊二叉树的结构

（2）二叉树的性质

完~ 

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