俗话说“条条大路通罗马”， 我们在用算法解决某一个问题时，往往会存在多种解决方法，但正如道路有远近之分，不同的算法也应该是有优劣的。为了更加清晰的量化算法的优劣，我们就需要引入算法的时间复杂度与空间复杂度了。那么就由小编来带大家梳理一下吧
一、时间复杂度
1、时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，
算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
2、时间复杂度的求法
1、O（n）渐进表示法
让我们来看一下下列代码：
// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; i++) {
for (int j = 0; j < N ; j++) {
count++;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}第一段有一个双重for循环，全部遍历完需要N^2次，中间的单层for循环遍历完需要N次，最后的while循环由于M的值是10，因此遍历完需要10次。
所以func1的基本操作执行的总次数就为：
F(N)=N^2+N+10
这时我们试着带入几种情况试一试：
- N = 10 F(10) = 130
- N = 100 F(100) = 10210
- N = 1000 F(1000) = 1002010
我们会发现随着N取值的增大，F(N)的决定项中N和10对总次数的影响会越来越小，运用数学中的极限的思想，当N非常大时，F(N)的取值将只由项N^2决定，这时我们就可以说func1的时间复杂度为O(N^2)了。
实际中我们计算时间复杂度时，其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们就使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
2、推导大O阶方法
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
上面我们在推导时其实就是对这些原理的具体阐释，Func1的时间复杂度为：O(N^2)
这时我们再带入几个值看看：
- N = 10 F(N) = 100
- N = 100 F(N) = 10000
- N = 1000 F(N) = 1000000
正如我们之前的推导，通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
注意：有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到平均情况：N/2次找到
在计算时间复杂度时，我们一般都是考虑最坏情况
其实仔细想想，在应用总对运行时间有严格要求时，如果最坏情况都符合要求的话，那这算法不就一定符合要求了嘛
3、常见的时间复杂度计算举例
1、非递归
(1)
// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
(2)
// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
(3)
// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
(4)
// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}基本操作执行最好N次最坏执行了(N*(N-1))/2次通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏时间 复杂度为 O(N^2)
(5)
// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {
int mid = begin + ((end-begin) / 2);
if (array[mid] < value)
begin = mid + 1;
else if (array[mid] > value)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}基本操作执行最好1次最坏log2N次时间复杂度为 O(log2N)ps：log2N在算法分析中表示是底数 为2，对数为N，有些地方会写成lgN。(建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）(因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4)
究其根本，求解时间复杂度就是在求最坏情况下程序执行的次数
2、递归
其实递归类型看着复杂，其核心求法就是：
时间复杂度=递归次数*每次递归的执行次数
(6)
// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}通过计算分析发现基本操作递归了N次，每次递归执行1次，时间复杂度为O(N)
(7)
// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，每次递归执行1次，时间复杂度为O(2^N)
二、空间复杂度
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，所以这里我们就简单介绍一下
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
例1
// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
例2
// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)例3
// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
三、总结
一段程序的优劣主要就由时间复杂度与空间复杂度决定，而这两者一般是很难兼得的，所以我们应该根据实际需求对代码进行调整，没有最好的代码，只有最合适的代码
那么本篇文章就到此为止了，如果觉得这篇文章对你有帮助的话，可以点一下关注和点赞来支持作者哦。作者还是一个萌新，如果有什么讲的不对的地方欢迎在评论区指出，希望能够和你们一起进步✊
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