【2023数学建模Mathorcup研究生组】量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用问题研究

希望能给大家带来启发和帮助，题目见资源附件。

摘要

随着金融市场的不断发展，信用评分卡已成为金融机构评估借款人信用风险的一种常用工具。在信用评分卡的建立过程中，组合优化问题是一个重要的挑战。传统计算机的处理能力受到限制，无法高效地解决大规模组合优化问题。因此，研究人员开始探索量子计算机在此领域的应用。

针对问题一，我们根据题目已给的信用评分卡构建一个基于信用评分卡的模型，该模型可以将客户的特征映射到一个预测的违约概率值。首先建立最大化收入目标函数，将所有客户的期望收入相加，使得总期望收入最大化。其次构建相关约束条件，然后将模型转化为QUBO形式。

针对问题二，在问题一的基础上，根据已选定数据集3种规则构建一个基于QUBO的客户信用评估模型。首先依据实际要求明确目标函数和约束条件。其次，为了将模型转换为QUBO形式，将目标函数和约束条件中的所有项都表示为二元变量的乘积，将乘积展开成一个多项式，将QUBO问题表示为一个矩阵-向量形式。最后使用粒子群优化算法求解QUBO问题。

针对问题三，依据附录中信用评分卡采用整数线性规划来建立模型。首先，可以将每个信用评分卡看作一个变量，记录信用评分卡的选择情况，使得收入目标最大化。同时满足选择的信用评分卡数量不能超过3张和每种信用评分卡只能选择一次约束条件。其次将整数规划中的目标函数和约束条件转化为QUBO格式，运用量子计算机以及现有的模拟退火求解问题三。

关键词：量子计算机；信用评分卡；目标最大化；QUBO

1、问题描述

1. 问题背景
  1. 我国银行、贷款业发展情况

中国银行业的发展历程可以追溯到清朝时期，但现代银行业的发展始于20世纪初。以下是我国银行业的发展历程：

1905年，清政府成立了中国银行总理局，这是中国第一个中央银行。1912年，中华民国成立后，建立了中央银行，统一了银行发行货币的权力。

1949年，中华人民共和国成立，新政府宣布银行业国有化。1950年，中国人民银行成立，成为中国的中央银行。

1952年，中国银行业开始进行大规模的调整和改革，银行业体制逐渐由中央集中管理向地方银行发展。

1960年代末至1970年代初，中国银行业出现了大规模的金融危机。随后，政府开始进行金融体制改革和银行业重组。

1984年，中国开始实行“两个市场、两个货币体制”，允许部分企业和外商投资者使用外汇进行贸易和投资，开放了国内外币存款和贷款业务。

1990年代初，中国开始进行金融市场的改革和开放，引进了外资银行和保险公司。

2001年，中国加入世界贸易组织（WTO），按照WTO协议逐步开放银行业和保险业。此后，中国银行业得到了快速发展。

2013年，中国启动了金融改革试验区，试图通过改革和创新，推进金融体系建设和发展。

2020年，中国央行推出了数字货币试点项目，这标志着我国央行数字货币研究进入新的阶段。此外，中国银行业在去杠杆化、防范金融风险等方面也有了重要进展。

中国的银行和贷款业在过去几十年里取得了长足的发展。在中国的金融体系中，银行是最重要的金融机构之一，而贷款业也是银行业务的重要组成部分。

随着中国经济的快速发展，中国银行业也逐渐成为全球最大的银行体系之一。中国银行的数量增长迅速，包括大型国有银行、股份制银行和城市商业银行等。目前，中国拥有4家大型国有银行和12家股份制银行，还有许多城市商业银行和农村信用合作社等金融机构。

在贷款业方面，中国银行业的业务范围也越来越广泛。除了传统的个人和企业贷款业务外，中国银行还开展了许多其他业务，如房地产贷款、车辆贷款、消费信贷和小微企业贷款等。

同时，中国政府也在积极推动金融体系的改革和创新。例如，中国已经实施了多项政策措施，以支持新兴行业和小微企业，同时也鼓励银行开展创新业务，如互联网金融和移动支付等。这些举措为银行和贷款业的发展提供了更广阔的空间。

总的来说，中国银行和贷款业的发展前景依然非常广阔。随着中国经济的持续增长和金融体系的不断完善，银行和贷款业也将继续发挥重要作用，促进经济发展和社会进步。

1. 1. 量子计算机

量子计算机是一种基于量子力学原理的计算机，它能够同时处理多个量子态，实现并行计算，从而具有比传统计算机更高效的计算能力。量子计算机的计算方式与传统的二进制计算机不同，它使用的基本单位是量子比特（qubit），而不是传统计算机中的二进制比特（bit）。

20世纪80年代，量子计算机的概念被首次提出。当时，物理学家Richard Feynman提出了一种用量子力学模拟量子系统的方法，这被认为是启发量子计算机发展的一个契机。1994年，Peter Shor提出了一种基于量子计算机的算法，用于因式分解和离散对数问题的解决，这被认为是量子计算机领域的一个重要突破。

1998年，Isaac Chuang和Neil Gershenfeld在美国麻省理工学院成功实现了两个量子比特的量子逻辑门，标志着实验上实现量子计算机的开始。2001年，丹麦物理学家Niels Bohr研究所的科学家实现了一个基于离子阱的5比特量子计算机。

2005年，加拿大Waterloo大学的科学家在量子比特上实现了量子纠缠和量子迭代递归算法，显示出了量子计算机能够用于某些特定领域内的计算优势。2007年，D-Wave公司发布了世界上第一台商用量子计算机，但是该计算机只能用于特定的优化问题。

近年来，量子计算机得到了更广泛的关注和研究。2016年，谷歌公司发布了一个名为“量子霸权”的声明，声称其使用了一台拥有53个量子比特的量子计算机，实现了一个超越经典计算机的计算任务。2019年，IBM发布了一台拥有20个量子比特的量子计算机，并开放了量子计算机的云服务。同年，中国科学家使用一台拥有62个量子比特的量子计算机，成功模拟了超导材料的电子结构。

量子计算机的发展具有重大的意义，因为它能够解决传统计算机无法解决的问题，例如模拟量子系统、优化问题和密码学等。相比传统计算机，量子计算机具有更高的速度和效率，可以在很短的时间内解决一些复杂问题。

尽管量子计算机的研究仍处于起步阶段，但目前已经有一些重要的成果。例如，2019年谷歌宣布取得了“量子霸权”，通过其自主研发的量子计算机Sycamore成功执行了一项传统计算机无法完成的任务。

然而，量子计算机仍然存在许多技术挑战和难题，如量子比特的稳定性、错误校正和量子纠缠等。这些挑战需要科学家们不断进行研究和创新，以进一步推动量子计算机的发展。

总的来说，量子计算机是一个非常前沿的领域，对未来的科技发展具有重要的意义。虽然目前还存在许多技术和应用上的挑战，但随着科技的不断进步和创新，量子计算机有望在未来的某个时候实现商业化应用。

1.1.3 小结

在银行信用卡或相关的贷款等业务中，对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格。由于银行场景的复杂性，往往需要采用选择多个不同的信用评分卡进行组合来实现最佳的风险控制策略。传统的信用评分卡模型通常采用基于统计学方法和机器学习算法的组合优化方法来评估客户信用等级和决定信用额度。这种方法需要大量的计算和存储资源，并且存在一定的误差和不确定性。量子计算机是一种新型的计算机技术，采用量子比特（qubit）而不是传统计算机的二进制比特（bit）来存储和处理信息。量子计算机具有高效率、高速度、并行性和能力超越经典计算机的优点，被认为是解决一些传统计算机难题的有力工具。在信用评分卡组合优化中，量子计算机可以利用其并行处理和优化算法等特点，加速信用评分卡的计算和优化过程，提高精度和效率，从而更好地帮助银行决策者做出决策。因此，研究利用量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用具有重要的理论和实际意义。

1. 目标任务

目标任务1：在 100 个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多，请针对该问题进行建模，将该模型转为QUBO形式并求解

目标任务2：假设赛题说明3 目前已经选定了数据集中给出的信用评分卡1、信用评分卡2、信用评分卡3这三种规则，如何设置其对应的阈值，使最终收入最多，请针对该问题进行建模，将模型转为 QUBO 形式并求解。

目标任务3：从所给附录中 100 个信用评分卡中任选取 3 种信用评分卡O并设置合理的阈值，使得最终收入最多，请针对该问题进行建模，并将模型转为 QUBO 形式并求解。

1.3 QUBO

QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）是一种离散优化问题，它在许多实际应用中被广泛使用，包括机器学习、人工智能、计算机科学、运筹学和物理学等领域。QUBO问题的解决可以被看作是一种集合优化问题，其中目标是找到一组二元变量（通常是0或1），以最小化或最大化一个二次多项式函数的值。在该问题中，变量不受任何约束条件的限制，因此称为“无约束二次二元最优化问题”。

QUBO问题可以表示为一个矩阵形式，其中每个元素代表二元变量之间的相互作用强度。这种表示方法被称为Q矩阵或哈密顿矩阵，其每个元素是二元变量之间的交互作用强度。这些交互作用的强度可以是正数或负数，并且可以表示变量之间的相互作用、约束条件或成本函数。

在QUBO问题中，目标是寻找一组二元变量的值，使得其对应的Q矩阵乘以这组变量向量的转置后的结果达到最小或最大值。这样的结果通常用于识别数据中的模式、分类问题或优化问题。

QUBO问题在实际应用中有广泛的应用，例如：

1.机器学习：QUBO问题可以被用于训练神经网络，自动分类、聚类和识别数据中的模式。

2.人工智能：QUBO问题可以用于解决组合优化问题，例如旅行商问题或背包问题，以及其他实际应用。

3.计算机科学：QUBO问题可以用于寻找最优的硬件和软件设计，以及在集成电路设计中优化布局。

4.运筹学：QUBO问题可以用于计划和管理资源，例如调度、生产线优化和运输规划。

5.物理学：QUBO问题可以用于量子计算机的优化和量子力学中的一些应用。

总的来说，QUBO问题是一种灵活的优化工具，可以用于多种实际应用，并且在不同领域中有着广泛的研究和应用。

2、模型假设及符号说明

2.1模型假设

为了便于考虑问题，我们在不影响模型准确性的前提下，作出以下假设：

假设信用评分卡的通过率和坏账率之间存在负相关关系。通常来说，较高的通过率往往伴随着较高的坏账率，因此我们需要权衡两者之间的关系。

假设每张信用评分卡的不同阈值对应的通过率和坏账率是已知的。也就是说，我们可以通过这些数据来评估不同阈值组合的效果，并且最终选择一个最优的组合来最大化银行的收入。

假设银行可以收取固定的贷款利息，这个利息可以通过信用评分卡通过的贷款金额来计算。因此，我们可以将这个贷款利息看作是一个常数。

假设银行的坏账损失与通过的贷款金额成正比。换句话说，银行会因为贷款违约而损失一定比例的贷款金额。因此，我们需要最小化这个损失，以保证银行的利润最大化。

假设选择不同的信用评分卡组合和阈值对银行最终收入的影响是可预测的。也就是说，我们可以通过建立一个数学模型来计算出不同的信用评分卡组合和阈值所对应的银行收入，并且可以通过比较不同方案来选择一个最优的组合。

假设我们可以使用 QUBO 模型来解决这个组合优化问题。具体来说，我们可以将信用评分卡组合和阈值设置看作是二进制变量，并且使用 QUBO 模型的二次函数形式优化模型来最小化银行的损失并最大化收入。

这些假设为我们建立数学模型提供了基本框架。通过考虑这些假设，我们可以在建立模型的过程中避免遗漏重要因素，从而保证模型的准确性和可靠性。

2.2主要符号说明

注：此为本文的主要符号说明，其他符号解释见正文部分。

问题分析

3.1 问题一分析

本题目的在于根据题目以及附件所给信息，分析银行信用评分机制，并建立一个基于信用评分卡的数学模型，给出合理算法。首先，建立最大化收入目标函数，将所有客户的期望收入相加，使得总期望收入最大化；然后，构建相关约束条件，使得模型更加满足实际需求；最后，我们对银行信用评分模型进行分析，并应用于QUBO模型求解。

首先，我们需要确定问题中所涉及的决策变量和目标函数。在该问题中，决策变量为选取哪一张信用评分卡及其对应的阈值，目标函数为银行最终收入。因此，我们需要将银行最终收入转化为一个二次函数形式的优化模型。

根据题目所给的数据，我们可以得到每一张信用评分卡的通过率和坏账率，以及对应阈值下的贷款利息收入和坏账损失。因此，我们可以计算出每一张信用评分卡对应阈值下的银行最终收入。在此基础上，我们需要将问题转化为一个二值变量的 QUBO 模型。

QUBO 模型的优化目标是在二元变量的约束下，最小化目标函数。因此，我们需要将信用评分卡和阈值的选择转化为二元变量，即 0 或 1。同时，我们需要将银行最终收入转化为一个二次函数形式的目标函数，并考虑信用评分卡和阈值之间的约束关系。

3.2 问题二分析

问题二可以看作是问题三的一个方面。我们不再考虑信用卡的信息，而是单纯的考虑阈值。阈值是用于决定借款人是否会被批准贷款的基准值。如果一个人的信用分数超过了阈值，他就有资格获得贷款。在这个问题中，有三个信用评分卡（卡1，卡2和卡3），需要选择一个合适的卡来评估借款人的信用风险。我们将这个问题建模为一个二元决策问题，其中：选择一个信用评分卡会导致不同的收入，我们需要最大化收入；每个信用评分卡都有一个对应的阈值，需要选择每个卡的阈值。为了将这个问题转换成QUBO形式，久需要将二元变量转换为QUBO变量，将QUBO问题表示为一个矩阵-向量形式。然后再使用粒子群优化算法求解QUBO问题。

3.3 问题三分析

银行在贷款业务中，需要对客户进行信用评级，以便决定是否授信和授信的额度。这通常使用信用评分卡来实现，信用评分卡是由多个规则组合而成，用于对客户进行评级和分类。在信用评级过程中，银行需要权衡通过率和坏账率，以最大限度地减少风险和损失。

选择不同的阈值会影响信用评分卡的通过率和坏账率，银行需要通过实际情况和经验来选择最合适的阈值。当银行选择多个信用评分卡时，需要将它们组合在一起，以便在不同的情况下实现最佳的风险控制策略。

在这种情况下，银行需要选择三个信用评分卡来实现最佳的风险控制策略。对于每个信用评分卡，银行需要选择一个阈值，以最大限度地减少风险和损失。通过表格中提供的信息，可以计算出每个信用评分卡的通过率和坏账率。在选择信用评分卡时，银行需要权衡通过率和坏账率，以实现最佳的风险控制策略。

如果选择三个信用评分卡作为组合策略，则可以将它们的通过率相乘，以计算组合策略的总通过率。同样地，可以将它们的坏账率相加，以计算组合策略的总坏账率。最终，银行的收入可以通过减去坏账损失来计算。

因为我们已经确定了信用评分卡的组合，所以可以根据该组合下的通过率和坏账率计算最终收入。假设信用评分卡 1 的阈值为 8，信用评分卡 2 的阈值为 6，信用评分卡 3 的阈值为 7，则总通过率为 0.7 × 0.5 × 0.62 = 0.217，总坏账率为 0.04 × 0.027 × 0.037 = 4.6e-6。银行贷款利息收入为贷款资金乘以利息收入率，即 1000000 × 0.08 = 80000 元。坏账损失为贷款资金乘以坏账率，即 1000000 × 4.6e-6 = 4.6 元。因此，最终收入为 80000 – 4.6 = 79995.4 元。

这个问题是需要计算选择不同的信用评分卡组合策略后的最终收入，可以根据每个信用评分卡的阈值、通过率和坏账率来计算。本题给出了三个信用评分卡和每个卡的 10 个阈值、通过率和坏账率。我们可以选择使用一个、两个或三个信用评分卡组合来实现最佳的风险控制策略。

具体步骤如下：

对于每种信用评分卡，确定一个阈值。

对于每个信用评分卡，根据其选择的阈值，确定该卡的通过率和坏账率。

对于选定的信用评分卡组合，计算总通过率和总坏账率。

根据总通过率和总坏账率，计算最终收入。

建立模型，考虑到每个信用评分卡有 10 个阈值，需要确定每个评分卡的最优阈值。为了方便模型建立，可以先针对每个信用评分卡，通过数据分析和可视化等手段，确定通过率和坏账率的变化规律，以及两者之间的折衷关系，从而选择出一组较为合理的阈值范围。例如，可以根据通过率和坏账率的变化情况，选择出通过率较高而坏账率较低的阈值作为最优阈值。

确定信用评分卡的权重，根据贷款资金和各信用评分卡对应的利息收入率，计算每个信用评分卡的收益，以此确定每个信用评分卡的权重。例如，可以根据各信用评分卡的利息收入率和通过率，计算每个信用评分卡对应的收益，再将各信用评分卡的收益转化为权重，从而得到每个信用评分卡的权重。

建立组合模型，根据最大化利润策略，确定各个信用评分卡的最优阈值，并计算出每个信用评分卡对应的收益，以此计算出整个信用评分卡组合的收益。可以采用数学优化方法或者遗传算法等技术，求解最优解。

4、问题一模型的建立与求解

4.1 基于信用卡评分的数学模型

首先，根据题目所给信息，建立最大化收入目标函数，将所有客户的期望收入相加，使得总期望收入最大化；然后，构建相关约束条件，使得模型更加满足实际需求。目标函数可以表示为：

同时需要满足以下两个条件：

每个客户只能被批准一次：
批准的客户必须符合选定的信用评分卡的条件：

4.2 QUBO形式的应用

4.2.1目标函数和约束条件转换二进制变量形式

将目标函数和约束条件都转换为二进制变量的形式：

4.2.2 约束条件转换QUBO形式
4.2.3 求解QUBO模型

5、问题二模型的建立与求解

5.1约束条件

5.2转化为QUBO形式

为了将模型转换为QUBO形式，我们需要将目标函数和约束条件中的所有项都表示为二元变量的乘积。然后，我们可以将乘积展开成一个多项式，并将多项式展开为一组二次项和线性项的组合，即 QUBO 形式。

5.3求解QUBO问题

使用量子计算机或经典计算机求解这个QUBO问题。其中，使用量子计算机求解QUBO问题的方法可以使用量子近似优化算法(QAOA)，使用经典计算机求解QUBO问题的方法可以使用类似于模拟退火或粒子群优化的算法。具体的求解方法取决于数据集的规模和硬件资源的可用性。

由于目前量子计算机的数量和性能还比较有限，因此通常采用经典计算机上的模拟器来模拟量子计算机。下面给出求解 QUBO 问题的一般步骤：

将 QUBO 问题转化为 Ising 模型

首先需要将 QUBO 问题转化为 Ising 模型，这可以通过将二进制变量表示为 +1 或 -1 来实现。具体来说，如果一个二进制变量 x 取值为 0，则表示为 +1，如果 x 取值为 1，则表示为 -1。将 QUBO 问题中的目标函数中的所有变量替换为 +1 或 -1 后，就可以得到 Ising 模型。

构造哈密顿量

根据 Ising 模型，可以构造对应的哈密顿量，即一个包含多个项的线性组合。其中每个项表示为一个磁通量和耦合系数的乘积，这些磁通量和耦合系数由 Ising 模型中的系数确定。因此，构造哈密顿量的过程就是将 Ising 模型中的系数映射到哈密顿量中的磁通量和耦合系数上。

用量子计算机求解哈密顿量的基态

将哈密顿量输入到量子计算机中，通过量子计算机的算法求解哈密顿量的基态。求解基态的过程通常采用量子退火算法或量子变分算法。

将基态解码为 QUBO 问题的解

根据量子计算机求解出的哈密顿量的基态，可以将其解码为 QUBO 问题的解。具体来说，如果哈密顿量的基态表示为一个二进制向量，则可以将其解码为 QUBO 问题中的二进制变量取值。例如，如果基态表示为 [1, -1, 1, -1]，则可以将其解码为 QUBO 问题中的 x1=0，x2=1，x3=0，x4=1。

验证解的正确性并输出最优解

将解码出来的解带入到 QUBO 问题中的目标函数中进行验证，确保解的正确性。如果验证通过，则输出最优解。如果验证不通过，则返回步骤 3 重新求解。

最终，求解出来的最优解将会给出每个客户应该使用哪种信用评分卡，并确定哪些客户应该被批准获得贷款，以及应该给每个客户提供多少贷款，从而最大化收入。
问题三模型的建立与求解
6.1 符号定义
6.2 建立模型

6.3 QUBO模型

7、模型的评价与改进

7.1 模型的评价

模型过于简单，忽略了一些实际情况，如客户的收入、职业、家庭情况等因素，这些因素也会影响客户的信用等级。

模型中将坏账率视为固定值，但实际上坏账率可能会因为外部环境的变化而发生变化，比如经济形势的波动、客户违约行为的改变等。

模型中只考虑了单一的收入来源，即贷款利息收入，忽略了其他收入来源对银行最终收益的影响，如手续费收入、投资收益等。

7.2 模型的改进

可以增加更多的因素作为输入变量，如客户的收入、职业、家庭情况等，使得模型更加准确。

可以将坏账率视为一个变量，将其视为随机变量，并加入概率分布，这样可以更好地反映坏账率的不确定性。

可以将其他收入来源也考虑进来，并将其作为目标函数的一部分，使得模型更加全面。同时，还可以考虑在银行资金量不足时，如何平衡各种收入来源之间的优先级。

另外，模型中的阈值选择也可以考虑进一步优化。当前模型中的阈值选择是基于每个评分卡的通过率和坏账率进行计算得出的，但实际上，阈值也可以根据不同的贷款利率进行调整，从而实现更加精准的风险控制和利润最大化。

此外，模型中的目标函数只考虑了银行的收益，而没有考虑借款人的利益。在实际情况中，银行需要平衡借款人的利益和自身的收益，因此可以考虑将借款人的利益纳入目标函数中，从而实现更加全面的优化。例如，可以考虑增加一个惩罚项，以惩罚高坏账率或高利率的组合，从而实现更加公平的贷款方案。

最后，由于量子计算机技术仍处于发展阶段，目前量子计算机硬件的运算速度和稳定性等方面仍存在限制，因此在实际应用中还需要考虑到这些限制，比如需要考虑硬件的噪声、误差和体积等因素，从而在设计模型时充分考虑这些限制，以实现更加可行和实用的模型。