【数学建模】–灰色关联分析

系统分析:

一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统，教育系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。人们常常希望知道在众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小；那些因素对系统发展起推动作用需强化发展；那些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制；……这些都是系统分析中人们普遍关心的问题。例如，粮食生产系统，人们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积以及水利，化肥，土壤，种子，劳力，气候，耕作技术和政策环境等。为了实现少投入多产出，并取得良好的经济效益，社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。

数理统计的不足之处：

灰色关联的基本思想：

灰色关联分析原理：灰色关联分析（Grey Relational Analysis）是一种用于研究变量之间关联性的方法，特别适用于样本数据较少、样本特征缺失或数据质量不高的情况下。它是由灰色系统理论发展而来，旨在分析和描述变量之间的关联程度。

在灰色关联分析中，首先将各个变量的数据进行数值化，常采用标准化或归一化的方法，将变量的取值范围转化为[0, 1]之间。然后，通过计算变量之间的关联度，确定它们之间的关联程度。

灰色关联分析的步骤主要包括以下几个方面：

1.数据标准化：将原始数据进行标准化处理，通常采用归一化或标准化方法，使得各个变量具有相同的数值范围。

2.构建关联系数矩阵：计算各个变量之间的关联系数，一般采用灰色关联度或灰色斜率关联度。关联系数表示了变量之间的相对关联程度。

3.确定关联度序列：根据计算得到的关联系数，确定关联度序列，即将各个变量按照关联度的大小排序。

4.确定关联度权重：根据关联度序列，计算关联度权重，即各个变量在总关联系数中的贡献比例。

5.计算灰色关联度：通过将各个变量的关联系数与关联度权重相乘，并进行累加，计算出灰色关联度。灰色关联度可以反映变量之间的关联程度。

通过灰色关联度的计算，可以得到各个变量之间的关联情况，进而进行数据分析和决策支持。灰色关联分析常被应用于多个领域，包括经济、管理、环境、工程等，用于评估指标之间的关联强度、寻找关键因素等。

需要注意的是，灰色关联分析的结果是相对的，不具备精确的定量意义，应结合实际问题和其他分析方法进行综合评估和判断。

例题以及Excel的实操：在excel中选择数据-插入-推荐图标-修改信息。

2.确定分析数列：

母序列：能反映系统特征值的数据序列，类似于因变量Y，此处记为X0

子序列：有影响系统行为的因素组成的数据序列。类似于自变量x，此处记为（x1，x2……xm）

3.对变量进行预处理：

目的：去量纲，缩小变量范围简化计算。

方法：每个元素/所在列的列向量的均值。

4.计算子序列中各个指标与母序列的关联系数

先求每子列元素与母列之间差的绝对值，在求出矩阵中所有元素的最小值a和最大值b。且取分辨系数p/rho=0.5

在通过公式计算

5.求灰色关联度：

公式：每列子序列与母序列关联系数的均值。

6.分析结果进行总结。

MATLAB代码实现：

参考代码：

%% 灰色关联分析用于系统分析例题的讲解
clear;clc
load gdp.mat  % 导入数据 一个6*4的矩阵
% 不会导入数据的同学可以看看第二讲topsis模型，我们也可以自己在工作区新建变量，并把Excel的数据粘贴过来
% 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内
Mean = mean(gdp);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
gdp = gdp ./ repmat(Mean,size(gdp,1),1);  %size(gdp,1)=6, repmat(Mean,6,1)可以将矩阵进行复制，复制为和gdp同等大小，然后使用点除（对应元素相除），这些在第一讲层次分析法都讲过
disp('预处理后的矩阵为：'); disp(gdp)
Y = gdp(:,1);  % 母序列
X = gdp(:,2:end); % 子序列
absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵(在这里我们把X0定义为了Y)
a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
disp('子序列中各个指标的灰色关联度分别为：')
disp(mean(gamma))

讨论：

灰色分析用于综合评价问题：

步骤：

MATLAB代码实现：

这里的代码和博主之前TOPSIS算法一文：数学建模——TOPSIS法_Wei&Yan的博客-CSDN博客

前面的操作都一致，只是在最后添加上了灰色相关分析的方法

步骤：

1. 先对矩阵进行预处理：每个元素/所在列的均值
2. 构造母序列和子序列

母序列：取每一行的max构成一个列向量

子序列：预处理后的矩阵

3.计算灰色关联度

先求每个元素与母序列差的绝对值矩阵，再求两级最大/小差。

最后利用公式求灰色关联度

4.求权重：每列的均值/每列均值的和

5.求得分：（矩阵中每个元素*其所在列的权重）的矩阵的列和。（得到一个）

6.归一化得分：每个元素/向量和

图形对比：

参考代码：

这里只参考了主函数加上带有灰色相关分析的代码，其他自定义函数可参考博主原来的文章TOPSIS算法：数学建模——TOPSIS法_Wei&Yan的博客-CSDN博客

%% 灰色关联分析用于综合评价模型例题的讲解
clear;clc
load data_water_quality.mat
% 不会导入数据的同学可以看看第二讲topsis模型，我们也可以自己在工作区新建变量，并把Excel的数据粘贴过来
% 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内

%%  判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);   %1

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指  标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 对正向化后的矩阵进行预处理
Mean = mean(X);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
Z = X ./ repmat(Mean,size(X,1),1);  
disp('预处理后的矩阵为：'); disp(Z)

%% 构造母序列和子序列
Y = max(Z,[],2);  % 母序列为虚拟的，用每一行的最大值构成的列向量表示母序列
X = Z; % 子序列就是预处理后的数据矩阵

%% 计算得分
absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵
a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
weight = mean(gamma) / sum(mean(gamma));  % 利用子序列中各个指标的灰色关联度计算权重
score = sum(X .* repmat(weight,size(X,1),1),2);   % 未归一化的得分
stand_S = score / sum(score);   % 归一化后的得分
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') % 进行排序