一维热传导方程的推导

模型建立

考虑一根具有定横截面积的杆，其方向为轴的方向（由至），如图1所示。

设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度：。

假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。

对和的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。

热能守恒

考察杆介于和之间的薄片，如图1所示。若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积（即横截面积乘以长度）的乘积：

如果我们想知道薄片内部温度随时间变化多快，我们需要知道有多少热量进入或离开该区域。根据傅里叶定律（Fourier’s law），通过单位时间、单位面积、单位温差流动出去或流入进来（取决于温差符号） 的热量为常数。因此，在时刻时，在位置$x+\Delta x $处流出去或流入进来（取决于温差符号） 的总热量为：

其中表示温度关于位置$x $ 的变化率。

类似地，在位置$x $处流入或流出（取决于温差符号） 的总热量为：

注意负号表示如果为正，则表示从高温区域向低温区域传递；反之亦然。

根据能量守恒原理，我们可以得到以下等式：

这意味着在$\Delta t $时间内薄片内部储存或释放（取决于符号） 的总能量等于在该时间段内进入或离开该区域（取决于符号） 的总能量。

方程推导

代入上述等式，得到：

将两边同时除以，得到：

令，利用极限定义，得到：

这就是一维热传导方程的基本形式。如果杆的横截面积不是常数，则需要对上式做一些修正。