步骤

数据预处理：SPSS填补缺失值；生成时间变量、画出时间序列图
观察时间序列图，判断有没有季节性波动、且是季度或月度数据
- 季节性规律 + 季节性波动恒定：季节性分解的加法模型
- 季节性规律 + 季节性波动随时间有变化（如递增）：乘法模型
数据围绕均值上下波动，无趋势、季节性：数据是平稳序列
用SPSS专家建模得出最佳模型
结果是 ARIMA(p,0,q) 模型，画出时间序列的样本 ACF 和 PACF 图形进行分析；
是 ARIMA(p,1,q) 模型，先对数据进行 1 阶差分后，再用 ACF 和 PACF 图形分析；
结果与季节性相关（如温特加法乘法模型、SARIMA），用时间序列分解

基本概念

时间序列：也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列

组成要素：

时间要素：年、季度、月、周、日、小时、分钟、秒
数值要素

时点序列：数值要素反映现象在一定时点上的瞬间水平
时期序列：数值要素反映现象在一定时期内发展的结果
时期序列可加、时点序列不可加

时间序列分解

分解为：

长期趋势 (Secular trend, T)
季节趋势(Seasonal Variation, S) ：一般以月、季、周为时间单位，不能以年作单位
循环变动(CyclicalVariation, C) ：以年为周期
不规则变动(IrregularVariation, I) ：白噪声 / 扰动项

叠加 / 乘积模型

叠加：数据的因变量/指标数值的最终变动 Y = T+S+C+I

乘积：Y = T×S×C×I

使用时间序列分解为上述模型的条件：

数据有年内的周期性，如月份/季度，年份数据就不行
在时间序列图上随时间推移，波动越来越大 — 乘积模型；波动恒定 — 叠加模型；不存在季节波动 — 两个都可

使用SPSS的实例

首先处理时间序列中的缺失值：缺失值在首尾，直接删除数据；在中部则不能删除，要替换缺失值

上图中替换缺失值的方法：

序列平均值：整个序列的平均数
临近点的平均数：相邻若干个点的平均数（默认2个点）
临近点的中位数
线性插值：相邻的两个点的平均数
邻近点的线性趋势：将时期作为x 时间序列值作为y进行回归

定义时间变量：

画出时间序列图，看用叠加 or 乘积模型，并对图做解释：有季节周期性，波动不大 – 叠加；季节周期性，波动大 – 乘积

进行季节性分解（即把 Y 分解为 T、S、C、I）

解读结果：季节因子的正负，如果是乘积模型则是倍数关系

画出分解后的序列图：

步骤

时间序列分解用于预测未来

• 作时间序列图； • 判断时间序列包含的变动成分； • 时间序列分解（有周期性且包含长期趋势、季节变动或循环变动）； • 建立时间序列分析模型； • 预测未来的指标数值。

指数平滑模型

名称	适用条件	与之类似的ARIMA模型
简单指数平滑法（Simple模型）	不含趋势T、不含季节S成分	ARIMA（0,1,1）
线性趋势模型(linear trend)	线性趋势、不含季节	ARIMA（0,2,2）
阻尼趋势模型(Damped trend)	线性趋势逐渐减弱、不含季节成分	ARIMA（1,1,2）
简单季节性(Simple seasonal)	含有稳定的季节成分、不含趋势	$SARIMA(0,1,1)\times (0,1,1)_{s}$
温特加法模型(Winters’ additive)	含有线性趋势和稳定的季节成分	$SARIMA(0,1,0)\times (0,1,1)_{s}$
温特乘法模型(Winters’ multiplicative)	含有线性趋势和不稳定的季节成分	不存在

Simple模型

简单指数平滑法（Simple模型）

不含趋势T、季节S成分

ARIMA（0,1,1）

关于平滑系数𝛼的选取原则： 1、时间序列不规则的起伏变化、长期趋势接近一个稳定常数，α值一般较小（取0.05‐0.02之间）2、时间序列迅速明显的变化倾向，则α应该取较大值（取0.3‐0.5） 3、时间序列变化缓慢，亦应选较小的值（一般在0.1‐0.4之间）

只能预测往后一期数据！！！由公式决定 因为预测后两期的数据需要后一期的数据，而后一期的数据等待被预测还未知

线性趋势模型

（Holt）线性趋势模型(linear trend)

线性趋势、不含季节

ARIMA（0,2,2）

缺点：对未来预测值过高，特别是长期预测

布朗线性趋势模型

α = β 时，即认为水平与趋势平滑参数相等

阻尼趋势模型

阻尼趋势模型(Damped trend)

线性趋势逐渐减弱且不含季节成分

ARIMA（1,1,2）

解决Holt线性趋势模型对未来长期预测值过高：加入阻尼效应

简单季节性

简单季节性(Simple seasonal)

含有稳定的季节成分、不含趋势

$SARIMA(0,1,1)\times (0,1,1)_{s}$

温特加法模型

温特加法模型(Winters’ additive)

含有线性趋势和稳定的季节成分

$SARIMA(0,1,0)\times (0,1,1)_{s}$

SPSS会返回各个参数的估计值，预测型不需要关注参数的显著性，解释型才要

温特乘法模型

温特乘法模型(Winters’ multiplicative)

含有线性趋势和不稳定的季节成分

不存在

乘法模型预测出来比加法模型的波动大

一元时间序列分析的模型

基础概念

平稳时间序列、白噪声序列

（弱）平稳的条件：

白噪声序列：均值为0的特殊平稳时间序列

有（季节性）波动的不是平稳的时间序列，因为均值在某一季度达到最大，不是固定常数

差分方程及其特征方程

差分：用于转化为平稳的时间序列

AR自回归的差分方程：与自身之前的因素有关

MA移动平均的差分方程：与以往的随机扰动项相关

特征方程的解决定时间序列是否平稳，怎么求特征方程：x的最高阶数就是 y 中滞后的期数

滞后算子

滞后 p 期就是 L的 p 次方；d 阶差分就是 (1-L)^p*yt；季节差分 m为周期

AR(p)模型(auto regressive) 自回归

自回归只适用于预测与自身前期相关的经济现象，即受自身历史因素影响较大的经济现象，如矿的开采量，各种自然资源产量等对于受社会因素影响较大的经济现象（即存在其他影响因素构成的变量，用自回归会有内生性），不宜采用自回归，而应使用可纳入其他变量的向量自回归模型（多元时间序列）

与自身以前的数据有关，所以模型中包含以前的 y；还包含一个单独的参数、随机扰动项：

特征方程判断平稳性

计算的例子

MA(q)模型(moving average)

MA模型和AR模型的关系

移动平均模型的可逆性：可以将1阶移动平均模型MA转换为无穷阶的自回归模型AR，可以将MA(q)模型也转换为无穷阶的自回归过程MA参数较少，简化了AR只要q是常数，MA(q)模型一定平稳

ARMA(p,q)模型

由AR与MA组成，MA一般是平稳的，所以ARMA的平稳性判定方法就是AR的判定方法：特征方程根的模长

选择p、q的方法

ACF自相关系数、PACF偏自相关系数

将数据转化为平稳序列后才能用ACF、PACF；自相关系数可用于判断是否是白噪声

PACF：两个数据的ACF受这两个数中间数据的影响，而PACF剔除了中间数据的影响

ACF、PACF判断用哪个模型合适：AR MA ARMA

AR模型中有与自己以往数据相关的变量 y ，所以与自身以往有关（没有剔除中间数据关系）的系数ACF拖尾，PACF截尾（PACF剔除了中间数据关系，yt 的值只与 y(t-p) 即前p期的值有关，与再之前的值无关所以截尾），阶数p就是PACF的截尾处

MA中只有随机扰动项有关的系数，所以ACF截尾，但PACF拖尾

ARMA都拖尾