傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

一、傅里叶级数与幂级数

共同点:都是将一个复杂的量叠加的简单量来表示。

幂级数展开:简单量——幂函数

傅里叶级数展开:简单量——三角函数

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

【傅里叶级数主要用于研究周期性的量】

函数能展开成为幂级数的条件是:f(x)任意阶可导。函数能展开称为傅里叶级数的条件就严格多了。

二、 傅里叶级数的收敛性:狄利克雷收敛定理

【狄利克雷收敛定理有2个使用条件】

设函数f(x)是以2l为周期的可积函数,且在[-l,l]上满足2个条件:

①f(x)连续或只有有限个第一类间断点(可去/跳跃) 

②只有有限个极值点

则称f(x)的以2l为周期的傅里叶级数收敛。且

(1)当x是f(x)的连续点时,该级数收敛于 f(x) 

(2)当x是f(x)的间断点时,该级数收敛于 frac{1}{2}left [ fleft ( x^{+} right )+fleft ( x^{-} right ) right ]

(3)当x=±l时(端点处),该级数收敛于 frac{1}{2}left [ fleft ( (-l)^{+} right )+fleft ( l^{-} right ) right ] 

连续的点直接代入,不连续的点取左右极限平均

三、周期为2l的函数展开为傅里叶级数

1、傅里叶级数的统一形式:

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

2、不同情况下傅里叶系数a_{n}b_{n}

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

相同点:①积分区间都是:-l→l ②被积函数都是:f(x)·三角函数 ③整体都要乘系数frac{1}{l}

区别:a_{n}中只有余弦cos, b_{n}中只有正弦sin。a_{n}中的n从0开始,b_{n}中的n从1开始。

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

原理—当f(x)不仅是周期为2l的函数,还是奇/偶函数时:

【奇函数的展开式中只有正弦sin】

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓,被积函数f(x)·cos 奇×偶=奇→→积分值a_{n}=0。

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓,被积函数f(x)·sin 奇×奇=偶→→积分值b_{n}=傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

【偶函数的展开式中只有余弦cos】

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓被积函数f(x)·cos 偶×偶=偶→ →积分值a_{n}=傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓,被积函数f(x)·sin 偶×奇=奇→ →积分值b_{n}=0。

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

注意是在半个周期上展开为正弦or余弦

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

补充f(x)在另一半周期[-l,0]上的定义:

要想展开为正弦sin→要使f(x)在[-l, l ]上为奇函数【奇延拓】 记忆口诀:正畸(奇)

要想展开为余弦cos→要使f(x)在[-l, l ]上为偶函数【偶延拓】

延拓不改变求an时的积分区间仍为[0, l]半个周期。唯一区别:在使用狄利克雷收敛定理时要在区间[-l, l]上使用。

四、常考题型与经典例题

1、狄利克雷收敛定理

 傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

【分析】不用求出傅里叶系数a_{n}b_{n},直接使用狄利克雷收敛定理——当x是f(x)的间断点时,该级数收敛于 frac{1}{2}left [ fleft ( x^{+} right )+fleft ( x^{-} right ) right ]

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓B

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2、将函数展开为傅里叶级数

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

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注:傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓

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