☕️ 本文系列文章汇总：
（1）HMM开篇：基本概念和几个要素
（2）HMM计算问题：前后向算法
代码实现
（3）HMM学习问题：Baum-Welch算法
（4） HMM预测问题：维特比算法本篇算法原理分析及公式推导请参考： HMM学习问题：Baum-Welch算法
原理解析及公式推导已在系列博客中介绍，本篇重点用python实现一下Baum-Welch算法，走起~
目录
1. 初始化一些参数
def __init__(self, N, M, V):
self.A = np.random.dirichlet(np.ones(N), size=N) # 状态转移概率矩阵
self.B = np.random.dirichlet(np.ones(M), size=N) # 观测概率矩阵
self.pi = np.array(np.random.dirichlet(np.ones(N), size=1))[0] # 初始状态概率矩阵
self.V = V # 所有可能的观测
self.N = N # 所有可能的状态长度
self.M = M # 所有可能的观测长度这里用到的`np.random.dirichlet(args, size)`是随机生成一个维度为args，size行的数组，并保证每一行之和为1
2. 定义前向算法获得α_{ij}
def forward(self):
"""
前向算法，Baum welch算法需要用到
:param O: 已知的观测序列
:return: alpha_{i}
"""
row, col = len(self.O), self.A.shape[0]
alpha_t_plus_1 = np.zeros((row, col))
obj_index = self.V.index(self.O[0])
# 初值α 公式10.15
alpha_t_plus_1[0][:] = self.pi * self.B[:].T[obj_index]
for t, o in enumerate(self.O[1:]):
t += 1
# 递推 公式10.16
obj_index = self.V.index(o)
alpha_ji = alpha_t_plus_1[t - 1][:].T @ self.A
alpha_t_plus_1[t][:] = alpha_ji * self.B[:].T[obj_index]
self.alpha = alpha_t_plus_13. 定义后向算法获得β_{ij}
def backward(self):
"""
后向算法，Baum welch算法需要用到
:param O: 已知的观测序列
:return: beta_{i}
"""
row, col = len(self.O), self.A.shape[0]
betaT = np.zeros((row + 1, col))
# 初值β 公式10.19
betaT[0][:] = [1] * self.A.shape[0]
for t, o in enumerate(self.O[::-1][1:]):
t += 1
# 反向递推 公式10.20
obj_index = self.V.index(self.O[t - 1])
beta_t = self.A * self.B[:].T[obj_index] @ betaT[t - 1][:].T
betaT[t][:] = beta_t
# 由于我们这里要的是beta矩阵，不做probs的计算，所以不需要这一行，即不计算公式【10.27】
# betaT[-1][:] = [self.pi[i] * self.B[i][self.V.index(self.O[0])] * betaT[-2][i] for i in range(self.A.shape[0])]
# 注意这里计算后向算法时，betaT是倒着存放的，所以我们需要按照beta1，beta2，...，betaT的顺序取
self.beta = betaT[:-1][::-1]上述前向和后向算法的具体实现在上一篇博客已经给出，这里不再解释
4. 根据《统计学习方法》公式10.24计算γ_{t}(i)
def gamma(self, t, i):
"""
根据课本公式【10.24】计算γ
:param t: 当前时间点
:param i: 当前状态节点
:return: γ值
"""
numerator = self.alpha[t][i] * self.beta[t][i]
denominator = 0.
for j in range(self.N):
denominator += (self.alpha[t][j] * self.beta[t][j])
return numerator / denominator
5. 根据《统计学习方法》公式10.26计算ξ_{t}(i, j)
def ksi(self, t, i, j):
"""
根据公式【10.26】计算 ξ
:param t: 当前时间点
:param i: 当前状态节点
:param j: 同i
:return:
"""
obj_index = self.V.index(self.O[t + 1])
numerator = self.alpha[t][i] * self.A[i][j] * self.B[j][obj_index] * self.beta[t + 1][j]
denominator = 0.
for i in range(self.N):
for j in range(self.N):
denominator += self.alpha[t][i] * self.A[i][j] * self.B[j][obj_index] * self.beta[t + 1][j]
return numerator / denominator6. 根据《统计学习方法》算法【10.4】定义模型训练过程
def train(self, O, n):
"""
根据算法【10.4】训练模型
:param O: 已知观测序列
:param n: 最大迭代步长
:return: 模型参数λ=(π，A，B)
"""
self.O = O
self.T = len(O)
maxIter = 0
while maxIter < n:
tempA = np.zeros((self.N, self.N))
tempB = np.zeros((self.N, self.M))
tempPi = np.array([0.] * self.N)
# 根据前向算法和后向算法得到α和β
self.forward()
self.backward()
maxIter += 1
# a_{ij}，公式【10.39】
for i in range(self.N):
for j in range(self.N):
numerator = 0.
denominator = 0.
for t in range(self.T - 1):
numerator += self.ksi(t, i, j)
denominator += self.gamma(t, i)
tempA[i][j] = numerator / denominator
# b_{i}{j}，公式【10.40】
for j in range(self.N):
for k in range(self.M):
numerator = 0.
denominator = 0.
for t in range(self.T):
if self.O[t] == self.V[k]:
numerator += self.gamma(t, j)
denominator += self.gamma(t, j)
tempB[j][k] = numerator / denominator
# π_{i}，公式【10.41】
for i in range(self.N):
tempPi[i] = self.gamma(0, i)
# 更新
self.A = tempA
self.B = tempB
self.pi = tempPi
return AttrDict(
pi=self.pi,
A=self.A,
B=self.B
)7. 整体代码
import random
import numpy as np
random.seed(1) # 好像不起租用
class AttrDict(dict):
# 一个小trick，将结果返回成一个字典格式
def __init__(self, *args, **kwargs):
super(AttrDict, self).__init__(*args, **kwargs)
self.__dict__ = self
class Baum_Welch:
def __init__(self, N, M, V):
self.A = np.random.dirichlet(np.ones(N), size=N) # 状态转移概率矩阵
self.B = np.random.dirichlet(np.ones(M), size=N) # 观测概率矩阵
self.pi = np.array(np.random.dirichlet(np.ones(N), size=1))[0] # 初始状态概率矩阵
self.V = V # 所有可能的观测
self.N = N # 所有可能的状态长度
self.M = M # 所有可能的观测长度
def forward(self):
"""
前向算法，Baum welch算法需要用到
:param O: 已知的观测序列
:return: alpha_{i}
"""
row, col = len(self.O), self.A.shape[0]
alpha_t_plus_1 = np.zeros((row, col))
obj_index = self.V.index(self.O[0])
# 初值α 公式10.15
alpha_t_plus_1[0][:] = self.pi * self.B[:].T[obj_index]
for t, o in enumerate(self.O[1:]):
t += 1
# 递推 公式10.16
obj_index = self.V.index(o)
alpha_ji = alpha_t_plus_1[t - 1][:].T @ self.A
alpha_t_plus_1[t][:] = alpha_ji * self.B[:].T[obj_index]
self.alpha = alpha_t_plus_1
def backward(self):
"""
后向算法，Baum welch算法需要用到
:param O: 已知的观测序列
:return: beta_{i}
"""
row, col = len(self.O), self.A.shape[0]
betaT = np.zeros((row + 1, col))
# 初值β 公式10.19
betaT[0][:] = [1] * self.A.shape[0]
for t, o in enumerate(self.O[::-1][1:]):
t += 1
# 反向递推 公式10.20
obj_index = self.V.index(self.O[t - 1])
beta_t = self.A * self.B[:].T[obj_index] @ betaT[t - 1][:].T
betaT[t][:] = beta_t
# betaT[-1][:] = [self.pi[i] * self.B[i][self.V.index(self.O[0])] * betaT[-2][i] for i in range(self.A.shape[0])]
self.beta = betaT[:-1][::-1]
def gamma(self, t, i):
"""
根据课本公式【10.24】计算γ
:param t: 当前时间点
:param i: 当前状态节点
:return: γ值
"""
numerator = self.alpha[t][i] * self.beta[t][i]
denominator = 0.
for j in range(self.N):
denominator += (self.alpha[t][j] * self.beta[t][j])
return numerator / denominator
def ksi(self, t, i, j):
"""
根据公式【10.26】计算 ξ
:param t: 当前时间点
:param i: 当前状态节点
:param j: 同i
:return:
"""
obj_index = self.V.index(self.O[t + 1])
numerator = self.alpha[t][i] * self.A[i][j] * self.B[j][obj_index] * self.beta[t + 1][j]
denominator = 0.
for i in range(self.N):
for j in range(self.N):
denominator += self.alpha[t][i] * self.A[i][j] * self.B[j][obj_index] * self.beta[t + 1][j]
return numerator / denominator
def train(self, O, n):
"""
根据算法【10.4】训练模型
:param O: 已知观测序列
:param n: 最大迭代步长
:return: 模型参数λ=(π，A，B)
"""
self.O = O
self.T = len(O)
maxIter = 0
while maxIter < n:
tempA = np.zeros((self.N, self.N))
tempB = np.zeros((self.N, self.M))
tempPi = np.array([0.] * self.N)
# 根据前向算法和后向算法得到α和β
self.forward()
self.backward()
maxIter += 1
# a_{ij}，公式【10.39】
for i in range(self.N):
for j in range(self.N):
numerator = 0.
denominator = 0.
for t in range(self.T - 1):
numerator += self.ksi(t, i, j)
denominator += self.gamma(t, i)
tempA[i][j] = numerator / denominator
# b_{i}{j}，公式【10.40】
for j in range(self.N):
for k in range(self.M):
numerator = 0.
denominator = 0.
for t in range(self.T):
if self.O[t] == self.V[k]:
numerator += self.gamma(t, j)
denominator += self.gamma(t, j)
tempB[j][k] = numerator / denominator
# π_{i}，公式【10.41】
for i in range(self.N):
tempPi[i] = self.gamma(0, i)
# 更新
self.A = tempA
self.B = tempB
self.pi = tempPi
return AttrDict(
pi=self.pi,
A=self.A,
B=self.B
)8. 实例
if __name__ == '__main__':
bm = Baum_Welch(N=3, M=2, V=['红', '白'])
O = ['红', '白', '红']
res = bm.train(O, 3)
print(res.pi)
print(res.A)
print(res.B)我们将n设置为3轮，可以得到如下结果：
π： [0.38663305 0.61098003 0.00238692]
A： [[0.00183726 0.03990598 0.95825676]
[0.03327835 0.93088611 0.03583554]
[0.00324882 0.9861656 0.01058559]]
B： [[0.98736893 0.01263107]
[0.72787272 0.27212728]
[0.03464711 0.96535289]]可以看出，每个参数的每一行之和约等于1，这是正确的。要注意，由于这里使用random随机初始化，所以每次初始化的结果都不一样。参数的初始化很影响最后的计算结果，这是个十分玄学的过程。因为原理及公式推导我已经弄明白了，所以我在编写代码的时候，基本不会再去纠结于公式内涵，基本是无脑按照公式来写的，这样会降低错误概率。
代码已经放到GitHub上了，我将会持续更新其它算法的实现。
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