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SVM模型详解

心中带点小风骚 • • 技术文章 • 阅读 628

初入菜鸟，希望能通过做笔记的方式记录下自己学到的东西，也希望能对同样入门的人有所帮助。希望大佬们帮忙指正错误~侵权立即删除。

内容

一、SVM定义与解决目标

二、SVM算法原理

1、线性可分

（1）无松弛变量

（2）带松弛变量​和惩罚因子C

2、线性不可分

（1）核函数定义和应用背景

（2）线性核函数 LINEAR

（3）高斯径向基核函数 RBF

（4）多项式核函数 POLY

（5）神经元的非线性作用核函数 Sigmoid

（6）核函数选择技巧

三、SVM代码实现

一、SVM定义与解决目标

SVM是一个二类分类器。其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化成一个凸二次规划问题的求解。即找到一个超平面，使两类数据离超平面越远越好，这样就可以让模型对新的数据分类更准确，即分类器更加稳定。

🎈 支持向量：离分离超平面最近的一些点

🎈最大化区间：找到最大化的支持向量到分离超平面的距离，以此为目标找到分离超平面

🎈分类数据分类

（1）线性可分

（2）线性不可分

二、SVM算法原理

1、线性可分

分为2种：无松弛变量和带松弛变量

以2个特征为例：

如下图：黑点和红点如何分类，我们直观的看到粉红色的线是最好的边界（因为超平面对训练样本的局部扰动的容忍度最好，也就是稳定性更高）

SVM模型详解

🌳原始待分类的数据：(x11,x12,y1)，……，(xm1,xm2,ym)

x1,x2就是不同维的特征

y的取值为1或-1（因为2分类）

🌳目标超平面：w^{T}X+b = 0—— 求最优w和b

（其实这里的展开是w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2}+b=0；

w是法向量，决定了超平面的方向；

b是位移项，决定了超平面与原点间的距离）

🌳那么空间中任意一点(x1,x2)到目标超平面的距离则为：

r=\frac{\left|\omega^{T} x+b\right|}{|| \omega||}

🌳又有定义：（其中x^{(i)}和y^{(i)}分别是第i个样本和第i个样本值所对应的目标值）

y_{i}(w^{T}x_{i} + b),i=1,.....,m为函数距离；

所以我们把函数距离和点到面的距离结合起来，就变成了：

\min\frac{y^{(i)}\left(w^{T} x^{(i)}+b\right)}{\|w\|}, i=1, \ldots, m是数据集与分离超平面的几何距离；

（1）这里用几何距离而不用函数距离的原因：

当w,b成倍增加时，函数距离也会相应的成倍的增加，但几何函数则不会

（2）我们刚刚不是说y的取值是1或-1嘛，这就保证了如果样本分类正确，则这个值是一个正数；如果样本分类错误，这个值是一个负数。这很好理解，分类对了就是同一边，就是正数嘛，即公式如下：

\left\{\begin{array}{ll} \omega^{T} x_{i}+b>0, & y_{i}=+1 \\ \omega^{T} x_{i}+b<0, & y_{i}=-1 \end{array}\right.

🌳但如果只以w^{T}X+b = 0来划分，那么它的容错性可能不是很好，所以SVM这里引入了这个：

\left\{\begin{array}{ll} \omega^{T} x_{i}+b>=1, & y_{i}=+1 \\ \omega^{T} x_{i}+b<=-1, & y_{i}=-1 \end{array}\right.

如图：（图里的换位符我懒得写了嘿嘿）

SVM模型详解

🌳 间隔

其中，支持向量使上式的等号为真。两个异构支持向量到超平面的距离之和，也称为区间：

\gamma=\frac{2}{\|\omega\|}（其实就是两条橙色线之间的距离）

🌳最大区间划分超平面

所以我们要找到对应的w和b让\gamma最大，即以下公式：

\max _{\omega, b} \frac{2}{\|\omega\|}, s . t . y_{i}\left(\omega^{T} x_{i}+b\right) \geq 1, i=1,2, \ldots, m

条件来源于：

将\left\{\begin{array}{ll} \omega^{T} x_{i}+b>=1, & y_{i}=+1 \\ \omega^{T} x_{i}+b<=-1, & y_{i}=-1 \end{array}\right.左右乘以y_{i}

（1）无松弛变量

🌳 上式的变体

要最大化区间，只需要最大化\frac{1}{\|\omega\|}，相当于最小化\|\omega\|^2

\min _{\omega, b} \frac{\|\omega\|^2}{2}, s . t . y_{i}\left(\omega^{T} x_{i}+b\right) \geq 1, i=1,2, \ldots, m

这就是SVM的基本型

🌳 我们将约束整合到优化目标函数中，建立拉格朗日公式

L(w, b, \alpha)=\frac{1}{2}\|w\|^{2}+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}\left(1-y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right)\right)

令 L(w,b,α)对 w和b的偏导为零，得到：

w =\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} x_{i}\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} = 0

代入L得

\max _{\alpha} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j} --s.t. \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i}=0, \alpha_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, m

求解\alpha后，子孙得到：

SVM模型详解（这里的x和y都是支持向量）

（2）带松弛变量\xi_{i}和惩罚因子C

\min \frac{1}{2}\|w\|^{2}+C \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} -- s . t . y_{i}\left(\omega^{T} x_{i}+b\right) \geq 1-\xi_{i} , i=1,2, \ldots, m,\xi_{i}\geq0

其余同上

2、线性不可分

如果训练样本是线性不可分的，只要样本的属性是有限的，就可以将它们映射到一个高维特征空间，使这些样本线性可分。

Note：升维后不一定线性可分，不过一般情况下升维后会更接近线性可分

每当遇到线性不可分的情况，总是映射到高维空间，会出现维数爆炸，所以计算难度会很大。这时，我们可以使用核函数来简化计算。核函数虽然也将特征从低维转换为高维，但在低维计算，在高维显示实际效果，解决了维数爆炸的问题。

（1）核函数定义和应用背景

只要一个对称函数对应的核矩阵是半正定的，就可以作为核函数。

但是在不知道特征映射的形式时，我们并不知道什么样的核函数才是合适的。因此，核函数的选择成为SVM的最大变数。

要构建核函数，我们必须首先确定从输入空间到特征空间的映射。要获得从输入空间到映射空间的映射，我们需要弄清楚输入空间中数据的分布，但是在大多数情况下，我们并不知道我们在处理什么，因为数据的具体分布，通常很难构造一个完全符合输入空间的核函数。因此，我们使用几个常用的核函数来自己构造核函数。

（2）线性核函数 LINEAR

k(x,x_{i}) = x * x_{i}（内积）

LINEAR主要用于线性可分的情况。我们可以看到特征空间到输入空间的维度是一样的，其参数少，速度快。对于线性可分数据，其分类效果很理想，因此我们通常首先尝试用线性核函数来做分类，看看效果如何，如果不行再换别的。

（3）高斯径向基核函数 RBF

k(x, x i)=\exp \left(-\frac{\|x-x i\|^{2}}{\delta^{2}}\right)

它是一个具有强局部性的核函数，可以将样本映射到更高维空间。它是使用最广泛的一种。无论大样本还是小样本，它都有更好的性能。多项式核函数的参数较少，所以在大多数情况下，当你不知道用什么核函数时，首选高斯核函数。

（4）多项式核函数 POLY

k(x,x_{i}) = ((x * x_{i})+1)^{d}

它还可以将低维输入空间映射到高维特征空间。然而，多项式核函数有很多参数。当多项式的阶数比较高时，核矩阵的元素值会趋向于无穷大或无穷小，计算复杂度会太大而无法计算。

（5）神经元的非线性作用核函数 Sigmoid

关于Sigmoid函数的介绍可以看往期文章中

基于分层softmax的CBoW模型详解_tt丫的博客-CSDN博客_分层softmax中有关逻辑回归Sigmoid函数的讲解

k\left(x, x_{i}\right)=\tanh \left(\eta<x, x_{i}>+\theta\right)

这样SVM实现的就是一种多层神经网络

（6）核函数选择技巧

如果我们对数据的分布等有了初步的了解，就可以根据这些特点来选择核函数

如果不清楚，可以使用交叉验证的方法尝试不同的核函数，误差最小的就是效果最好的；或者我们可以将多个核函数组合成一个混合核函数。

如果特征的数量大到和样本数量差不多，则选用线性核SVM；

如果特征的数量小，样本的数量正常，则选用高斯核函数SVM；

如果特征数量少，样本数量大，则需要手动添加一些特征成为第一种情况。

三、SVM代码实现

我们可以调用sklearn库中的SVM

例如

model=sklearn.svm.SVC(C=2,kernel='rbf',gamma=10,decision_function_shape='ovo')

参数说明：

（1）C：C-SVC的惩罚参数C默认是1.0。C越大，相当于惩罚松弛变量，希望松弛变量接近0，即对误分类的惩罚增大，这样对训练集测试时准确率很高，但相对的，模型的泛化能力就会变弱。C值小，对误分类的惩罚减小，允许容错，将他们当成噪声点，泛化能力较强。

（2）kernel ：核函数，默认是rbf，可以是

0 —— ‘linear’；1 —— ‘poly’；2 —— ‘rbf’；3 —— ‘sigmoid’

（3）degree ：多项式poly函数的维度，默认是3，选择其他核函数时会被忽略

（4）gamma ：’rbf’，’poly’和’sigmoid’的核系数。当前默认值为’auto’，它使用1 / n_features，如果gamma=’scale’传递，则使用1 /（n_features * X.std（））作为gamma的值。

（5）coef0 ：核函数的常数项。对于’poly’和 ‘sigmoid’有用

（6） tol ：默认为1e-3，停止训练的误差值大小

主要调节的参数有：C、kernel、degree、gamma、coef0

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