前言

​ 线性回归只能拟合线性曲面（广义曲面）。如果回归任务中的输出变量相对于特征向量不是线性的，那么如何更好地拟合？局部加权线性回归是一种方法。

1. 局部加权线性回归模型

当两个样本点的特征向量相近时，它们的输出变量通常相近，即具有相似的性质。现在我们有训练样本点构成训练集。那么当我们给一个特征向量的时候，我们需要根据训练集中的信息来预测它的输出变量，训练集中离越近的样本点越要注意。也就是说，我们需要给训练集中的每个样本点一个权重，越接近的样本点的权重应该越大。这是一个加权的原理，那么具体应该怎么做加权呢？

​ 首先应该想一想，我们怎样衡量距离呢？欧氏距离（2范数）是一种常用的衡量方式，即：

我们使用以下公式为训练集中的第个样本点分配权重：

这里显得很突兀。不知道为什么，直接给了这样一个公式。我不知道为什么。该算法经常使用这样的函数来赋予权重。对于那些不想深入理论研究的人，我认为是形而上学。酒吧！当然，这绝对不是形而上学。这样做应该有一定的理论基础，但我暂时不明白。

对于一个给定的特征向量作为输入，我们想要预测它的输出变量，使用下面的加权损失函数：

这很自然，它是一个简单的加权求和。当最小化这样一个损失函数时，算法肯定会寻求使样本点的损失越接近，损失越小，也就是说，算法更关注那些距离越近的点，即也有利于更准确地预测。该函数使用矩阵编写为：

其中权重矩阵。

优化这个损失函数的过程就是算法的训练过程。在优化这个损失函数之后，参数可以用来预测输出变量使用。如果我们有个特征向量要预测，将这些特征向量记为，那么对于每个特征向量我们要计算一次权重矩阵，然后优化损失函数得到，然后预测输出变量。

2. 求解方法

梯度下降法是一种很常见的优化方法。当然这里也可以使用梯度下降法。主要目的是解决损失函数的梯度。求解梯度其实就是求导，求导：

这样，也可以使用梯度下降法。我不会在这里多说。只看正规方程的方法，令其导数为求解函数的极小点：

值得注意的是，局部加权线性回归的时间成本非常高，因为对于每一个需要预测的点，我们都需要对应的权重矩阵并单独训练。普通的线性回归算法只需要训练一次就可以预测所有的点。

局部加权线性回归的优点是它几乎可以拟合任何形状。只要选择合适的超参数，算法就能很好地拟合。在现实生活中，数据的输出变量和特征向量之间存在线性关系的情况并不多，因此纯线性回归模型可能不适合，但局部加权线性回归可以更好地拟合非线性数据分布。

3. 代码实现

​ 写一个局部加权的线性回归函数。

import numpy as np

def calweight(a, b): # 求解权值的函数
    sigma = 0.3
    return np.exp(-np.linalg.norm(a-b)**2 / (2*sigma**2))

def LWLR(X_train, y_train, X_test): # 局部加权线性回归
    X_train = np.insert(X_train,0,1,axis=1)
    X_test = np.insert(X_test, 0, 1, axis = 1)
    y_pred = np.empty(X_test.shape[0]) # 预测值
    
    for k in range(X_test.shape[0]): # 对所有的需要预测的特征向量先训练再预测
        # 求解权值矩阵   
        w = np.empty(X_train.shape[0])
        for i in range(X_train.shape[0]):
            w[i] = calweight(X_test[k], X_train[i])
        W = np.diag(w) #权值矩阵
        
        theta=np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(np.dot(X_train.T,W),X_train)),np.dot(np.dot(X_train.T,W),y_train))
        y_pred[k] = np.dot(theta,X_test[k]) # 预测
        
    return y_pred

​ 创建数据并使用此函数拟合回归曲线。

import matplotlib.pyplot as plt

def CreateData():
    X = np.arange(0,10,0.1)
    y = np.empty(X.shape[0])
    for i in range(X.shape[0]):
        y[i] = X[i]**3 - 10*X[i]**2 + X[i] + np.random.uniform(-10,10)
    return X[:,np.newaxis], y

np.random.seed(0)
X, y = CreateData()
plt.scatter(X, y) # 可视化
X_test = np.arange(0.05,10,0.1) #测试集，目的是通过其画出拟合曲线
X_test = X_test[:,np.newaxis]
y_pred = LWLR(X, y, X_test)
plt.plot(X_test, y_pred, color='red') # 画出拟合曲线
plt.show()

拟合曲线如下：

​、欠拟合

​，感觉底部有点欠拟合

​、贴合效果好

​，有些过拟合

​只要选择合适的超参数，很多情况下会有更好的拟合效果。