【DataWhale学习】Day3~9-3章线性模型——西瓜书学习摘录笔记

函数的性质

在研究线性模型之前，我们先要对凸集下一个定义：

​ 对集合C内的任意两点x1、x2 ∈ C，若它们之间的连线上的所有点仍属于集合C，即

则我们称集合C为“凸”的，即C是一个凸集（convex set）

​ 对定义在凸集上的函数f：Rd->R，令定义域内的x、z都满足

则我们称函数f(.)为凸的，即f(.)是一个凸函数（convex function）

我们对于线性模型的参数估计都是通过凸函数完成的，所以对于一般模型证明其定义在凸集是非常重要的，这里的内容后续补充

分割线====

需要注意的是，一些数学变换依旧能保持函数的凸性，如：

1、若 f 是凸函数，则*g(x) = f(Ax+b)*也是凸函数；

2、若f1、…、fn是凸函数，w1，…，wn ≥ 0，则

也是凸函数。

​ 函数 f：Rd->R的共轭函数（conjugate function）定义为

其定义域

共轭函数拥有很好地性质：

无论原函数是否为凸函数，共轭函数一定是凸函数——解决了函数为非凸函数的方法

若函数 f 可微，则

其中，

最优化基础

​ 一个简单的优化问题是最小二乘（Least Square）：

​ 线性规划（linear programming）问题如：

​ 一般地，一个优化问题可以表示为

线性回归

目标：学习w和b使得

其最关键的是衡量 f(x)与 y 的差别，采用均方差度量的方式，可以通过调整w和b的值使得均方误差值最小化，即有

而求解w和b的使
最小化的过程，称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”（parameter estimation），可将
分别对w和b求导，得到

令上式为0可得到w和b的最优解

这里不做对多元线性回归的讨论

对数几率回归

​ 思想很简单，上述线性回归是对于线性模型就行回归学习，对数几率回归是对于分类任务进行学习，而实际中我们只需找一个单调可微函数将分类任务的真实标记 y 与线性回归模型的预测值联系起来，最理想的是“单位阶跃函数”（unit-step function），但是由于其并不连续，不能用作可微的线性模型中，因此采用近似单位阶跃函数的“替代函数”（surrogate function），并希望它能够单调可微。对数几率函数（logistic function）就是这样的函数，我们结合线性模型可以得到：

​ 那么该如何确定里面的w和b呢？这里不做详细推导，直接上结论

令
，采用极大似然法（maximum likelihood method）对于

​ 采用牛顿法或梯度下降法都可以得到公式

​ 以牛顿法为例，t+1轮迭代解的更新公式为