损失函数
什么是损失函数？
在机器学习中，损失函数是代价函数的一部分，而代价函数则是目标函数的一种类型。
- 损失函数(Loss Function)： 用于定义单个训练样本与真实值之间的误差;
- 代价函数(Cost Function)： 用于定义单个批次/整个训练集样本与真实值之间的误差；
- 目标函数(Objective Function)： 泛指任意可以被优化的函数。
损失函数用来评估模型预测值与真实值的偏离程度。通常情况下，损失函数选取的越好，模型的性能越好。不同模型间采用的损失函数一般也不一样。最常用的最小化损失函数的算法便是“梯度下降”(Gradient Descent)。
损失函数的分类
损失函数的分类方式有多种，按照是否添加正则项可分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。按照任务类型分类，可分为两种：回归损失（针对连续型变量）和分类损失（针对离散型变量）。
回归损失
L1 Loss
也称Mean Absolute Error，即平均绝对误差(MAE)，计算预测值与真实值的差的绝对值，衡量预测值与真实值之间距离的平均误差幅度，范围为0到正无穷。
优点：
- L1损失函数对离群点（Outliers）或者异常值更具有鲁棒性。
缺点：
- 在零处不可导，求解效率低，收敛速度慢；
- 梯度始终相同，即使很小的损失值，梯度也很大，这样不利于模型的收敛。针对它的收敛问题，一般的解决办法是在优化算法中使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。
L2 Loss
也称为Mean Squred Error，即均方差(MSE)，计算的是预测值与真实值之间距离的平方和，范围同为0到正无穷。
优点：
- 收敛速度快，能够对梯度给予合适的惩罚权重，而不是“一视同仁”，使梯度更新的方向可以更加精确。
缺点：
- 对异常值十分敏感，梯度更新的方向很容易受离群点所主导，不具备鲁棒性。
Smooth L1 Loss
平滑的L1损失(SLL)，出自Fast RCNN。SLL通过综合L1和L2损失的优点，在0点处附近采用了L2损失中的平方函数，解决了L1损失在0点处梯度不可导的问题，使其更加平滑易于收敛。此外，在|x|>1的区间上，它又采用了L1损失中的线性函数，使得梯度能够快速下降。
Smooth L1在训练初期输入数值较大时能够较为稳定在某一个数值，而在后期趋向于收敛时也能够加速梯度的回传，很好的解决了L1、L2损失所存在的问题。
IoU Loss
交并比损失，出自UnitBox，由旷视科技于ACM2016中提出了IoU Loss将bounding box 的4个顶点构成的 box 看成一个整体做回归。是目标检测中常见的评价标准，主要是衡量模型生成的Predict bounding box和Ground-truth bounding box之间的重叠程度。《UnitBox: An Advanced Object Detection Network》
上图存在2个边框(bounding box), Ground-truth bouding box(绿色边框)和Predict bouding box(红色边框)。Ground-truth是人为标注的正确结果，Predict表示模型预测的结果。简单来说，IoU标准用于测量真实和预测之间的相关度，相关度越高，该值越高。
图形化展示：
IoU Loss vs Lx Loss
常规的Lx损失（L1 Loss、L2 Loss）中，都是基于目标边界中的4个坐标点信息之间分别进行回归损失计算的（只将bounding box的四个角点分别求 loss 然后相加，没有引入 box 四个顶点之间的相关性并且模型在训练过程中更偏向于尺寸更大的物体。）。因此，这些边框信息之间是相互独立的。然而，直观上来看，这些边框信息之间必然是存在某种相关性。如下图(a)-(b)分别所示，绿色框代表Ground Truth，黑色框代表Prediction，可以看出，同一个Lx分数，预测框与真实框之间的重叠程度并不相同，显然重叠度越高的预测框是越合理的。
IoU损失将候选框的四个边界信息作为一个整体进行回归，其满足非负性、同一性、对称性、三角不等性，相比于L1/L2等损失函数还具有尺度不变性，不论box的尺度大小，输出的iou损失总是在0-1之间，从而实现准确、高效的定位。为了解决IoU度量不可导的现象，可以取负对数的形式间接计算IoU损失。
GIoU Loss
泛化IoU损失，全称为Generalized Intersection over Union，由斯坦福学者于CVPR2019年发表的这篇论文中首次提出，《Generalized Intersection over Union: A Metric and A Loss for Bounding Box Regression》。上面我们提到了IoU损失可以解决边界框坐标之间相互独立的问题，考虑这样一种情况，当预测框与真实框之间没有任何重叠时，两个边框的交集（分子）为0，此时IoU损失为0，因此IoU无法计算两者之间的距离（重叠度）。另一方面，由于IoU损失为零，意味着梯度无法有效地反向传播和更新，即出现梯度消失的现象，致使网络无法给出一个优化的方向。此外，如下图所示，IoU对不同方向的边框对齐也是一脸懵逼，所计算出来的值都一样。
解决方法： 如下图公式所示，GIoU通过计算任意两个形状（这里以矩形框为例）A和B的一个最小闭合凸面C（通常情况下可以理解为最小外接矩形），然后再计算C中排除掉A和B后的面积占C原始面积的比值，最后再用原始的IoU减去这个比值得到泛化后的IoU Loss。
DIoU Loss
距离IoU损失，全称为Distance-IoU loss，由天津大学数学学院研究人员于AAAI2020所发表的这篇论文中首次提出，《Distance-IoU Loss: Faster and Better Learning for Bounding Box Regression》。上面我们谈到GIoU通过引入最小闭合凸面来解决IoU无法对不重叠边框的优化问题。但是，其仍然存在两大局限性：边框回归还不够精确与收敛速度慢。考虑下图这种情况，当目标框完全包含预测框时，此时GIoU退化为IoU。显然，我们希望的预测是最右边这种情况。因此，作者通过计算两个边框之间的中心点的归一化距离，从而更好的优化这种情况。
下图表示的是GIoU损失（第一行）和DIoU损失（第二行）的一个训练过程收敛情况。其中绿色框为目标边框，黑色框为锚框，蓝色框和红色框则分别表示使用GIoU损失和DIoU损失所得到的预测框。可以发现，GIoU损失一般会增加预测框的大小使其能和目标框重叠，而DIoU损失则直接使目标框和预测框之间的中心点归一化距离最小，即让预测框的中心快速的向目标中心收敛。
图左给出这三个IoU损失所对应的计算公式。对于DIoU来说，如图右所示，其惩罚项由两部分构成：分子为目标框和预测框中心点之间的欧式距离；分母为两个框最小外接矩形框的两个对角线距离。因此， 直接优化两个点之间的距离会使得模型收敛得更快，同时又能够在两个边框不重叠的情况下给出一个优化的方向。
CIoU Loss
完整IoU损失，全称为Complete IoU loss，与DIoU出自同一篇论文。上面我们提到GIoU存在两个缺陷，DIoU的提出解决了其实一个缺陷，即收敛速度的问题。而一个好的边框回归损失应该同时考虑三个重要的几何因素，即重叠面积（Overlap area)、中心点距离(Central point distance)和高宽比(Aspect ratio)。GIoU考虑到了重叠面积的问题，DIoU考虑到了重叠面积和中心点距离的问题，CIoU则在此基础上进一步的考虑到了高宽比的问题。
CIoU的计算公式如下所示，可以看出，其在DIoU的基础上加多了一个惩罚项αv。其中 α 为权重为正数的重叠面积平衡因子，在回归中被赋与更高的优先级，特别是在两个边框不重叠的情况下；而 v 则用于测量宽高比的一致性。
分类损失
Entropy
熵, 最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的混乱程度。但更常见的，在信息论里面， 熵是用于描述对不确定性的度量。所以，这个概念可以延伸到深度神经网络中，比如我们的模型在做分类时，使用的交叉熵，与信息论中的信息熵虽然有所不同，但也存在千丝万缕的连系。因此，在正式介绍分类损失函数时，我们必须先了解熵的概念。
计算机网络中，各种类型数据的传输其底层都是0-1bit流在传输介质中传输，其中有些位是有用信息，有些位则是冗余信息，有些位甚至是错误信息，等等。当我们传达信息时，我们希望尽可能多地向接收者传递有用的信息。
下面以一个天气预报的例子为例，解释熵到底为何物？假设一个地方的天气是随机的，每天有50%的机会是晴天或雨天。
现在，如果气象站告诉您明天要下雨，那么他们将不确定性降低了2倍。起初，系统（明天的天气）存在两种同样概率的状态，但是在收到气象站的更新信息后，只剩下一种 。在这里，气象站向我们发送了一位有用的信息，无论他们如何编码这些信息，这都是事实。即使发送的消息是雨天，每个汉字占两个字节，消息的总大小为32位，但它们仍然只通信1位的有用信息。现在，我们假设天气有8种可能状态，且都是等可能的。
那么，当气象站为您提供第二天的天气时，会将不确定性降低了8倍。由于每个事件的发生几率为1/8，因此降低因子为8。但如果这些可能性不是等概率的呢？比如，75%的机会是晴天，25%的机会是雨天。
比如气象台说第二天会下雨，那么你的不确定性就降低了4倍，也就是2比特的信息。不确定性的减少就是事件概率的倒数。在这种情况下，25%的倒数是4，log(4)以2为底得到2。因此，我们得到了2位有用的信息。也就是说，有用信息的位数等于，以 2 的事件概率倒数的对数。再由对数的性质，进一步等价于负的以 2 为底的事件概率的对数。
如果气象站说第二天是晴天，那么我们得到0.41比特的有用信息。那么，我们平均能从气象站得到多少信息呢？明天是晴天的概率是75%这就给了你0.41比特的信息而明天是雨天的概率是25%这就给了你2比特的信息，加权平均后就得到对应的平均每天从气象站得到0.81比特的有用信息。
我们刚刚所计算出来的就叫做熵（信息熵），它可以很好地描述事件的不确定性。它是由下式给出：
它衡量的是你每天了解天气情况时所得到的信息量的期望。同时也反映了在给定概率分布p中样本值的平均信息量的条件下，它的概率分布有多不可预测。如果我们住在沙漠中央，那里每天都是阳光灿烂的，平均来说，我们不会每天从气象站得到很多信息，熵会接近于零。另一方面，如果天气变化很大，熵就会大得多。简单地说：一个事件的不确定性就越大，其信息量越大，它的信息熵就越高。
Cross Entropy
下面来研究一下交叉熵，它代表发送平均信息长度。考虑同样的例子，8种可能的天气条件，所有都是等可能的，每一种都可以用3位编码 (2^3=8，3位比特位共表示8中可能状态)。
此时平均信息长度为3，也就是交叉熵为3。但是现在，假设你住在一个阳光充足的地区，那里的天气概率分布是这样的：
按照公式计算，得到其信息量，信息熵为2.23bit：
平均来说，气象站发送了3个比特，但接收者只得到2.23个比特有用的信息。但是，我们可以做得更好。比如，更改编码方式：
天气的编码方式是明确的，并且如果你链接多条消息，则只有一种方法可以解释位的顺序。例如，01100只能表示部分晴天（01），然后是小雨（100）。因此，如果我们计算该站每天发送的平均比特数，则可以得出：
这是我们新的改进的交叉熵比之前的3比特（即全部用3位表示的形式）更好。现在，我们在换一种情况。
此时，如果我们计算它的交叉熵：
我们将得到4.58位。大约是熵的两倍。平均而言，该站发送4.58位，但只有2.23位对接收者有用。每条消息发送的信息量是必要信息的两倍。这是因为我们使用的编码对天气分布做出了一些隐含的假设。例如，当我们在晴天使用2位消息时，我们隐式地预测晴天的概率为25％。以同样的方式，我们计算所有天气情况。
而这种隐式假设在神经网络中，便对应模型首先后对样本所在的真实概率分布p的估计q。 通过上面两种不同的编码，即两种不同的概率分布估计，可以得到模型估计越贴近真实分布，对应的交叉熵值越小，且下确界为真实概率分布对应的信息熵。并且交叉熵在数学形式上有更好的性能，这些性质恰恰符合我们训练模型时对损失函数的要求。
分母中2的幂对应于用于传输消息的比特数。很明显，此时的预测分布q和真实分布p有很大不同。现在我们可以把交叉熵表示成真实概率分布p的函数和预测概率分布q的函数：
K-L Divergence
KL散度。对于交叉熵损失，除了我们在这里使用预测概率的对数（log(q(i))）外，它看起来与上面熵的方程非常相似。 如果我们的预测是完美的，那就是预测分布等于真实分布，此时交叉熵就等于熵。 但是，如果分布不同，则交叉熵将比熵大一些位数。交叉熵超过熵的量称为相对熵，或更普遍地称为库尔贝克-莱布里埃发散度（KL Divergence）。总结如下：
接上面的例子，我们便可以顺便算出：KL散度 = 交叉熵 – 熵 = 4.58 – 2.23 = 2.35（Bits）。
Dice Loss
Dice Loss 也称骰子损失，最先于VNet 这篇文章中被提出，后来被广泛的应用在了医学影像分割之中。
Dice系数是一种集合相似度度量函数，通常用于计算两个样本的相似度，取值范围为0~1，值越大表示两个值的相似度越小，其基本定义（二分类）如下：
其中 |X∩Y| 是X和Y之间的交集，|X|和|Y|分表表示X和Y的元素的个数。从上述公式也可以看出，其实Dice系数是等价于F1分数的，优化Dice等价于优化F1值。此外，为了防止分母项为0，一般我们会在分子和分母处同时加入一个很小的数作为平滑系数，也称为拉普拉斯平滑项。
Dice 系数的计算
- 首先将 |X∩Y| 近似为预测图pred和label GT 之间的点乘，并将点乘的元素的结果相加：
- 计算|X|和|Y|，这里可以采用直接元素相加，也可以采用元素平方求和:
Dice Loss vs CE
语义分割中一般用交叉熵来做损失函数，而评价的时候却使用IOU来作为评价指标，为什么不直接拿类似IOU的损失函数来进行优化呢？
- 相较于 dice-coefficient 和类似 IoU 度量的损失函数，交叉熵的梯度形式更优；
- 分割的真实目标就是最大化 dice-coefficient 和 IoU 度量. 而交叉熵仅是一种代理形式，利用其在 BP 中易于优化的特点。
Focal Loss
焦点损失，出自何凯明的《Focal Loss for Dense Object Detection》，出发点是解决目标检测领域中one-stage算法如YOLO系列算法准确率不高的问题。作者认为样本的类别不均衡（比如前景和背景）是导致这个问题的主要原因。比如在很多输入图片中，我们利用网格去划分小窗口，大多数的窗口是不包含目标的。如此一来，如果我们直接运用原始的交叉熵损失，那么负样本所占比例会非常大，主导梯度的优化方向，即网络会偏向于将前景预测为背景。即使我们可以使用OHEM（在线困难样本挖掘）算法来处理不均衡的问题，虽然其增加了误分类样本的权重，但也容易忽略掉易分类样本。而Focal loss则是聚焦于训练一个困难样本的稀疏集，通过直接在标准的交叉熵损失基础上做改进，引进了两个惩罚因子，来减少易分类样本的权重，使得模型在训练过程中更专注于困难样本。其基本定义如下：
其中：
- 参数α和(1-α)分别用于控制正/负样本的比例，其取值范围为[0, 1]。α的取值一般可通过交叉验证来选择合适的值；
- 参数γ称为聚焦参数，其取值范围为[0, +∞)，目的是通过减少易分类样本的权重，从而使模型在训练时更专注于困难样本。 当 γ = 0 时，Focal Loss就退化为交叉熵损失，γ 越大，对易分类样本的惩罚力度就越大。
Reference
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