数据结构——二叉树（2）

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接上一篇文章http://t.csdnimg.cn/nsKsW，本次我们接着讲解关于二叉树的相关知识。

🍁一、二叉树的相关性质：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^(h-1)3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n1 ,则有n0=n1+14. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： ①. 若i>0，i位置节点的双亲序号为：(i-1)/2；i=0；若i为根节点编号，无双亲节点 ②. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1；2i+1>=n否则无左孩子 ③. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2；2i+2>=n否则无右孩子 6.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；

🍁二、二叉树的存储结构：

🌕（一）、顺序储存（数组）

1.顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 根据上述有几点性质： 2. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： ①. 若i>0，i位置节点的双亲序号为：(i-1)/2；i=0；若i为根节点编号，无双亲节点 ②. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1；2i+1>=n否则无左孩子 ③. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2；2i+2>=n否则无右孩子 3.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；4.满二叉树或者完全二叉树适合用顺序存储，而非完全二叉树适合用链式存储；

🌕（二）、衍生数据结构——堆：

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

⭐️1.堆的概念

堆是一种非线性结构，是特殊的完全二叉树，所以适合用数组存储；

⭐️2.堆的分类：

小堆（小根堆）：树中任意父亲的值都小于等于其孩子；

大堆（大根堆）：树中任意父亲的值都大于等于其孩子；

如下图：

🌕（三）、堆的实现（顺序存储）

一般堆我们用顺序存储的方式实现，即用一维数组，所以定义与顺序表差不多，只是实现逻辑不一样，所以基本定义与销毁等操作就大致讲解。

⭐️1.堆的定义：

typedef int HPDatatype;
typedef struct Heap
{
	HPDatatype* a;//一维数组
	int size;//现有元素个数
	int capacity;//当前结构最大空间
}HP;

⭐️2.堆的初始化：

//初始化
void HPinit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
	php->a = NULL;
}

⭐️3.堆的销毁

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

⭐️4.堆的打印：

//打印
void HPprint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

⭐️5.插入数据：

因为堆是特殊的完全二叉树，所以插入算法与顺序表完全不同；

我们以实现小堆为例：

①：首先我们应该考虑是否堆满，根据我们定义所示，当size==capacity时即为堆满，此时我们需要进行扩容方式，因为只有此处可能进行扩容，所以不用单独分装成一个函数，扩容方式与之前的顺序表等等结构相似，所以小编不做多余讲解；

②：根据完全二叉树的顺序存储结构来看，我们知道数组的尾元素即为完全二叉树的尾元素，所以我们插入数据只需在数组的尾部进行插入，又因为堆是特殊的完全二叉树，小堆即双亲结点的值比其所有孩子的值要小，所以当数据插入后，还要将数据与其双亲进行比较，若不满足条件，我们要进行数据的交换，而且我们需要循环进行此操作，直到比较完根节点，又因为我们是不断在找双亲，所以我们称这种方法为“向上调整”，向上调整的前提是前面的结构已经是堆结构了。

③：我们既然要找双亲，所以我们需要牢记双亲结点与孩子结点之前的位置关系，即为上述的几条完全二叉树的性质，向上调整具体算法如下图：

④：时间复杂度为O(log以2为底的n),因为插入元素的时间复杂度为O(1),向上调整的最坏情况为调整至根结点，即完全二叉树的高度，为log以2为底的n；

⑤,源代码 

//交换函数
void Swap(HPDatatype* p1, HPDatatype* p2)
{
	HPDatatype tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDatatype* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0)
	{
		//以小堆为例插入数据
		if (a[parent] > a[child])
		{
			//交换位置
			Swap(&a[parent],&a[child]);
			//比较完一组后重定位，向上调整
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			//插入结束
			break;
		}
	}
}

//插入元素
void HPPush(HP* php, HPDatatype x)
{
	assert(php);
	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		php->capacity = (php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2);
		HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype) * php->capacity);
		//检查扩容
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc");
			return;
		}
		php->a = tmp;
	}
	

	//插入元素
	php->a[php->size] = x;
	//检查是否需要向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size);
	php->size++;
}

⭐️6.删除数据：

首先我们考虑一个问题，删除哪个元素有意义呐？

很明显，删除根节点最有意义，因为在大堆中，根节点是最大值；在小堆中，根节点是最小值；所以删除根节点比较有意义一些；

很多小伙伴可能会想，“删除根结点无非就是将数组元素挪动直接覆盖嘛”，答案是不行的，因为我们要清楚一点，堆结构只是孩子与双亲有关系，但孩子之间和兄弟之间是没有关系的，所以挪动数据覆盖元素可能会导致孩子或者兄弟错位，从而覆盖后可能就不是堆结构了；

下面介绍一种思路：上面插入数据用到“向上调整”，现在我们删除数据就用到“向下调整”；

向下调整思路（以小堆结构为例）：

①：先交换根结点和尾结点的值；

②：删除尾结点（数组总元素size减1）

③：再找出根结点的两个孩子中较小的孩子,然后交换双亲与较小孩子的值；

④：接着对双亲和孩子重定位，依次向下调整；

注意：其中很多细节应当尤其注意，如可能有些情况没有右孩子等等，具体思路看注释；

//向下调整
void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//找出小孩子,同时要注意有没有右孩子，防止child+1越界
		if (a[child] > a[child + 1]&&child+1<n)
		{
			child++;
		}
		//交换
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续向下调整
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//删除元素
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	//判断堆空
	assert(php->size > 0);
	//交换首尾结点
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	//删除尾结点,因为是数组，所以直接将现有元素size-1不访问即可
	--php->size;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

⭐️7.取堆顶元素（取根节点）

//取堆顶(取根结点)
HPDatatype HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	//判断是否为堆空
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

⭐️8.判空

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

🌕（四）、堆排序

⭐️容易产生的错误想法：

首先我们知道，将一组数据插入堆中，然后在依次取堆顶元素，就可以得到一组有序的数据，所以有小伙伴就想“堆排序是不是就是将数组的内容插入堆，然后在依次取堆顶存入数组”，如下：

int arr[7] = { 10,40,60,20,30,80,90 };
	HP hp;
	//初始化堆
	HPinit(&hp);
	//将数组元素插入堆
	for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
	{
		HPPush(&hp, arr[i]);
	}
	int i = 0;
	while (!HPEmpty(&hp))
	{
		//取最小元素（堆顶元素）存入数组
		arr[i] = HPTop(&hp);
		//出堆后取到次小元素
		HPPop(&hp);
	}
	HPDestroy(&hp);

这样似乎有点道理，但这样写有两个缺陷：

⭐️正确的堆排序：

①：大家可以联想一下堆的存储就是二叉树的顺序存储，顺序存储不就是利用一维数组吗？所以我们可以将待排序数组看成一个普通的二叉树，还不是堆结构，所以接着我们就要想办法将此数组搞成一个堆结构，思路如下：

在之前我们的代码中已经埋下了一个“伏笔”，就是在插入数据的“向上调整算法”函数AdjustUp的第一个参数是指向数组内容的一级指针，而不是结构体指针；第二个参数是待向上调整的位置，所以我们就可以直接利用AdjustUp函数建堆：

	//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}

	//......
}

这样就可以对待排序数组a的元素依次向上调整，并且不需要考虑扩容这些，最后数组a的元素就是一个堆的顺序存储；

②：既然是排序，我们就要考虑是升序还是降序的问题，那么大家思考一下，升序，降序分别用大堆还是小堆呐？

很多小伙伴都会想着上面错误想法中的思路，“升序就建小堆，这样依次取堆顶元素就是升序；降序就建小堆”；

答:但其实不是这样的,因为我们只是将待排序数组建成了堆的结构，但真正的堆的一系列操作我们是没有的，不能像上述完整的堆的思路循环Top、Pop、Top、Pop……,Top一次后剩下的数组就需要重新判断是否为一个堆结构，我们恰好是相反的操作：

需要升序，我们建大堆；

需要降序，我们建小堆；

以降序用小堆为例讲解思路：

小堆建立好后，我们将堆顶元素和堆尾元素进行交换，这样最小的元素不就跑到数组后面的了吗，然后我们将新的堆顶元素向Pop那样向下调整（代价为log(以2为底的n)），使其重新呈现一个新的小堆结构，然后又交换新的堆顶和堆尾元素，这样次小的元素就到倒数第二个位置了，依次循环操作，最后我们就可以得到一个降序的数组；

此算法总时间复杂度为：N*log（以2为底的N）；

//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆(以降序建小堆为例)
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}

	//记录堆尾的下标
	int end = n - 1;
	//开始排序
	while (end > 0)
	{
		//交换堆顶和堆尾
		Swap(&a[0],&a[end]);
		//向下调整
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;

	}

	//打印数组
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}

本次知识到此结束，希望对你有所帮助。