耶鲁大学《博弈论》课程——逆向归纳

逆向归纳 Backward Induction

Looking forward，thinking backward。

【帽子里的金币】案例：

该游戏有两个参与人，参与人1先往帽子里放金币，可以选择放0个、1个或3个，然后把帽子传给参与人2，参与人2可以看帽子里面有多少金币，然后选择全部取出、不放、放1或3个，他们的净利润如下博弈树图所示：（注意，这里有个关键点：参与人2在作出决定之前知道参与人1的决策，且参与人1知道这种情况，这叫做【序贯博弈(Sequential Games)】）

（如，A在投行工作，借钱给那些创业者们，而B作为创业者，拿到钱后，既可以选择按计划创业赚钱，也可以选择偷懒甚至卷钱跑路）

**这里问题的关键就在于预测(anticipation)：**沿着树形往下看，站在后行动参与者的立场上思考，看下级参与人会有什么动机，找到他们的BR，再根据树形图倒回来。

在这里，要站在参与人2的角度看，对于上分支，参与人2没有选择权，无需分析；对于中分支，1.5相对于1是优势；对于下分支，3相对于2是优势。逆向推进一层，站在参与人1的角度分析，可选择的3个策略分别对应的结果为：0、1、-3。找到参与人1的优势决策，如放1金币。

这里的方法叫做——【逆向归纳法(Backward induction)】，looking forward，thinking backward。

希望得到一个更好的结果(如2比1.5好)，某种动机却阻止我们作出这种选择，称之为道德风险(moral hazard)。（道德风险，典型的例子如保险行业，当你的车上了保险之后，你就不会像以前那么小心了，因为损失会有保险公司承担，所以保险公司会要求签署一定的免赔额，不会承担全部损失）

通过限制项目的规模，或者说贷款额度，来降低被骗的风险。

那么，参与人1如何才能获取比1更高的收益呢？ => 【激励设计(Incentive design)】，改变3金币分支的收益分配，由原本的(3,2)改为(1.9, 3.1)，此时3.1大于3，参与人2就更可能选择投资。动机不是上天赋予人们的，它是由合同双方设计出来的。

“有时大蛋糕的一小块儿，可能比小蛋糕的一大块儿要大。”。(Sometimes, a smaller share of a larger pie, can be bigger than a large share of a small pie.)

但是这里仍然有优化的空间，对于参与人1来说，把这3美元分散去投3个1美元的小项目，仍然是100%的回报率，收益3美元，是大于这个大项目的1.9美元收益的。（那么，要怎么选择呢？ => 对于私募公司的经理人来说，你要考虑有多少个可行项目、每个项目的回报率、自己的可支配资金等）

或者使用 【担保(Collateral)】，担保的作用在于，它降低了你不偿还贷款的收益，但实际上使你过得更好了，因为它改变了其他人的行为，这对你是有益的（如，原本参与人1考虑到道德风险，可能只投资1美元，现在有了担保，就投资了3美元，参与人2的收益就从原本的1.5涨到了2）。

【诺曼底人侵略英国】案例：

参与人：诺曼底公爵Norman、英国防御者Saxon

策略：战斗Fighting、逃跑Running away

但是最开始，诺曼底人有两种选择：破釜沉舟Burn（把登陆的船烧了）、留条后路Not Burn。

这里有一个【承诺(Commitment) 】概念，通过减少可选策略而改变其他人的行为，但如果改变不了其他人行为就毫无意义。

如在这里，诺曼底公爵就选择了破釜沉舟，烧了自己的船，并且让对方知道（不知道就没有意义），从而降低对方抵抗的积极性，更大的概率选择R，这对诺曼底人来说收益更大。

【饥饿的狮子】案例：

【斯塔克伯格模型】案例：

在前面，我们可以找到纳什均衡点下的古诺产量。

现在，我们以序贯动态博弈的角度重新去审视它。去想象，两家不是同时确定他们的产量，是有先后次序的，如厂家1先制定产量，然后开始观察厂家1的产量，然后再确定自己的产量。那么，是先下手为强呢？还是等对方采取完行动再进行针对性方案呢？这个问题的研究模型，就是斯塔克伯格模型。

首先，厂家2已经知道了厂家1的产量q1，需要选择产量q2，如下图：

厂家2针对q1，按照BR曲线，选择与之对应能最大化厂家2利润的产量q2；

厂家1知道了这个q2，又会根据它来调整自己的最优产量q1‘，然后厂家2再调整自己的最优产量q2‘…从而无休止的继续下去（直至达到前面古诺模型得到的均衡点 ）。

这里面有个【策略替换(Strategic Substitutes)】问题，厂家1增产，厂家2就要减产来回应，而这就会导致厂家2的BR2(q1)下降。在斯塔克伯格的模型中，厂家1不需要知道厂家2的产量也能有理由超过古诺产量继续生产，因为这可以迫使对手减产，对厂家1是有利的。所以厂家1的利润一定是上涨的(不然厂家1不会选择增产)，那么厂家2的利润怎么判断？

我们先看当前市场上的总产量q1+q2，如下图所示，当q1增加一个单位时，q2减少的量要小于1个单位，所以总产量是增加的。