概率统计：白噪声

概率统计：白噪声

前言

白噪声是时间序列分析中非常重要的概念。本文将详细介绍白噪声的定义、性质以及相关的理论知识。

定义

白噪声是一类具有特殊性质的随机过程，其时间序列表现为各个时刻上的取值是相互独立、且服从同一分布的随机变量所构成的序列。

可以用数学符号来表示：

其中 表示白噪声， 表示均值， 表示方差。

性质

平均值和自协方差函数

白噪声的平均值为 ，也就是说，白噪声在任意时刻的期望值都为 。

白噪声的自协方差函数为：

这里 表示时间差， 表示方差。

高斯性质

如果白噪声的各个时间点上的随机变量都是独立并且具有相同的正态分布，那么这个白噪声就是高斯白噪声。

满足线性定理

若 和 均为白噪声，则对于任意实数 ，都有 是白噪声。

谱密度函数

白噪声的谱密度函数为常数：

应用

白噪声是时间序列中的一种特殊情况，它在很多领域都有广泛应用，例如：

• 信号处理：白噪声是一种理想的信号，可以用来进行模拟和分析。
• 随机游走：随机游走是指一个随机变量在各个时刻上的取值是相互独立的，但不一定服从同一分布。如果这个随机变量满足马尔可夫性，那么它就是一个随机游走。而当随机游走的步长服从独立同分布的正态分布时，它就是一个随机游走过程，而随机游走过程的差分就是白噪声。
• 调和分析：白噪声的谱密度函数是常数，与频率无关。因此，在调和分析中，可以将白噪声看作一个等权重的频率组成的信号。

总结

本文介绍了白噪声的定义、性质以及应用，并讲述了白噪声在时间序列分析和其他领域中的重要性。白噪声在很多领域都有广泛应用，是时间序列分析中不可或缺的概念。