详解时间复杂度计算公式(附例题细致讲解过程)

这几天开始刷力扣上面的算法题，有些题目上面限制时间复杂度和空间复杂度，题目虽然写出来了，但是很没底。印象里数据结构老师讲过一点，沉睡的记忆苏醒了。只记得一个时间复杂度是O(n)，空间复杂度是S(n)。for循环常常是O(n)，具体是怎么算的不清楚。所以在看了相关的视频教学后，总结一下时间复杂度的计算公式，希望能给大家的学习带来帮助!

一、什么是时间复杂度

时间复杂度（Time complexity）是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数. 时间复杂度常用大O表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

时间复杂度大小比较：

时间复杂度分类：

算法完成工作最少需要多少基本操作叫做最优时间复杂度，是一种最乐观最理想的状态。
算法完成工作最多需要多少基本操作叫做最坏时间复杂度，是算法的一个保障。
算法完成工作平均需要多少基本操作叫做平均时间复杂度，它可以均匀全面的评价一个算法的好坏。

时间复杂度基本计算规则：

基本操作即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
分支结构，时间复杂度取最大值
判断一个算法效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其他次要项和常数项可以忽略
在没有特殊说明时，我们所分析的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

二、单层循环时间复杂度计算公式

解题步骤

列出循环趟数t及每轮循环i的变化值
找到t与i的关系
确定循环停止条件
联立两式解方程
写结果

例题分析

例一：

i = n*n;
whlie(i != 1)
    i = i/2;

第一步：列出循环趟数t及每轮循环i的变化值：

t	0	1	2	3
i	$n^{2}$	$\frac{n^2}{2}$	$\frac{n^2}{4}$	$\frac{n^2}{8}$

第二步：找到t与i的关系：

$i=\frac{n^{2}}{2^{t}}$

第三步：确定循环停止条件：

$i = 1$

第四步：联立第二步第三步两式解方程：

$\frac{n^{2}}{2^{t}} = 1 \quad\quad n^2 = 2^t \quad\quad t = \log_2n^2$

$t = \log_2n^2 = 2\log_2n$

所以得到时间复杂度为：

$T = O(\log_2n)$

例二:

x = 0；
while (n>=(x+1)*(x+1))
    x = x+1;

第一步：列出循环趟数t及每轮循环x的变化值：

t	0	1	2	3	4
x	0	1	2	3	4

第二步：找到t与x的关系：

$t = x$

第三步：确定循环停止条件：

$n = (x+1)^2$

第四步：联立第二步第三步两式解方程：

$(t +1)^2 = n$

$t = \sqrt[]{n}-1$

所以得到时间复杂度为：

$T=O(\sqrt[]{n})$

例三:

int i = 1;
while (i<=n)
    i = i *2

第一步：列出循环趟数t及每轮循环i的变化值：

t	0	1	2	3	4
i	0	1	2	3	4

第二步：找到t与x的关系：

$i = 2^t$

第三步：确定循环停止条件：

$i = n$

第四步：联立第二步第三步两式解方程：

$2^t = n$

$t = \log_2n$

所以得到时间复杂度为：

$T = O(\log_2n)$

例四:

int i = 0;
while (i*i*i<=n)
    i ++;

第一步：列出循环趟数t及每轮循环i的变化值：

t	0	1	2	3	4
i	0	1	2	3	4

第二步：找到t与x的关系：

$i=t$

第三步：确定循环停止条件：

$i^3 = t$

第四步：联立第二步第三步两式解方程：

$t^3 = n$

$t = \sqrt[3]{n}$

所以得到时间复杂度为：

$T=O( \sqrt[3]{n})$

例五:

y = 0;
while (y+1)*(y+1) <= n
    y = y+1;

第一步：列出循环趟数t及每轮循环y的变化值：

t	0	1	2	3	4
y	0	1	2	3	4

第二步：找到t与x的关系：

$t = y$

第三步：确定循环停止条件：

$(y+1)^2= n$

第四步：联立第二步第三步两式解方程：

$(t +1)^2 = n$

$t = \sqrt[]{n}-1$

所以得到时间复杂度为：

$T=O(\sqrt[]{n})$

三、两层循环时间复杂度计算公式

解题步骤

列出循环中i的变化值
列出内层语句的执行次数
求和，写结果

例题分析

例一:

int m=0,i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=2*i;j++)
        m++;

第一步列出循环中i的变化值：

第二步列出内层语句的执行次数：

i	1	2	3	4	5	……	n
内层语句执行次数	2	4	6	8	10	……	2*n次

第三步求和，写结果

$2+4+...+2n = \frac{2+2n}{2}n = n(n+1)$

$T= O(n^2)$

例二:

for (i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i][j] = 0;

第一步列出循环中i的变化值：

第二步列出内层语句的执行次数：

i	0	1	2	3	4	……	n-1
内层语句执行次数	m	m	m	m	m	……	m次

第三步求和，写结果

$m*(n-1-0+1) = m*n$

$T = O(mn)$

例三:

count = 0;
for (k=1;k<=n;k*=2)
    for(j=1;j<=n;j++)
        count ++;

这里k*=2，不再是++,所以要先用单层循环求出变换趟数：

t	1	2	3	4
k	1	2	3	4

$k = 2^{t-1}$

$t = \log_2k +1$

内层每个都是n,求和则可以得到：

$T= O(n\log_2n)$

例四:

for (i=n-1;i>=1;i--)
    for(j=1;j<=i;j++)
        if A[j] > A [j+1]
            A[j]与A[j+1]交换;

第一步列出循环中i的变化值：

第二步列出内层语句的执行次数：

i	n-1	n-2	……	2
内层语句执行次数	n-2	n-3	……	1次

第三步求和，写结果

$\frac{n-2+1}{2}*(n-2) = \frac{n+1}{2}*(n-2)$

$T=O(n^2)$

四、多层循环时间复杂度计算公式

方法一：抽象为计算三维物体体积

方法二：列式求和

例一:

for(i=0;i<=n;i++)
    for(j=0;j<=i;j++)
        for(k=0;k<j;k++)

方法一：抽象为计算三维物体体积：

i依赖于n，j依赖于i，k依赖于j，三者都可以看成是n，再由体积公式 $V = \frac{1}{3}Sh$ 可以求出

$T= O(n^3)$ 。

方法二：列式求和：

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\sum_{k=0}^{j-1} = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\(j-1-0+1)= \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\j$

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\j= \sum_{i=0}^{n}\frac{i(i+1)}{2}=\sum_{i=0}^{n}(i^2+i)=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}i^2=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}i=O(n^3)$

$T = O(n^3)$

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详解时间复杂度计算公式(附例题细致讲解过程)

一、什么是时间复杂度

二、单层循环时间复杂度计算公式

三、两层循环时间复杂度计算公式

四、多层循环时间复杂度计算公式

方法一：抽象为计算三维物体体积

方法二：列式求和

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