C语言每日一练——第154天：牛顿迭代法求方程根

🌟 前言

Wassup guys，我是Edison 😎

今天是C语言每日一练，第154天！

Let’s get it！

文章目录

• 1. 问题描述
• 2. 题目分析
• 3. 算法设计
• 4. 确定程序框架
• 5. 迭代法求方程根
• 6. 代码实现

1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。
 
方程为 ，系数a，b，c，d 由主函数输入。
 
求 在 附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。
 
牛顿迭代法的公式是： ，设迭代到 时结束。

2. 题目分析

牛顿迭代法是取 之后，在这个基础上，找到比 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
 
设 是 的根，选取 作为 初始近似值。
 
过点 作为曲线 的切线 ，
 
的方程为 ，
 
求出 L 与 x 轴交点的横坐标 ，称 为 的一次近似值，
 
过点 作为曲线 的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 ，称 为 的二次近似值，
 
重复以上过程，得 的近似值 。
 
上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析👇
 
(1) 在 附近找任一实数作为 的初值，我们取 ，即
 
(2) 用初值 代入方程中计算此时的 及 ；程序中用变量 描述方程的值，用 描述方程求导之后的值。
 
(3) 计算增量 。
 
(4) 计算下一个 。
 
(5) 用新产生的 替换原来的 ，为下一次迭代做好准备。
 
(6) 若 ，则转到第 (3) 步继续执行，否则转到步骤 (7)。
 
(7) 所求 就是方程 的根，将其输出。
 
本程序的编写既可用 while，也可用 do...while，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。
 
while 结构需要先判定条件，即先判断 是否成立，这样对于 ， 我们要在 附近取两个不同的数值作为初值；
 
do...while 结构是先执行一次循环体，得到 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给 赋初值。
 
这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下👇

流程图如下所示👇

5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定 。
 
从牛顿迭代法的原理可以看出：迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给 所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。
 
在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时，便可结束迭代。
 
若我们把判定条件改为 ，则第一次的判断结果必为假，这样就不能进入循环体再次执行。

定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下👇

6. 代码实现

完整代码📝

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float solution(float a, float b, float c, float d)
{
	float x0, f, fd, h; 
	float x = 1.5;

	do
	{
		x0 = x; 

		f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;

		fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;

		h = f / fd;

		x = x0 - h; 

	} while (fabs(x-x0) >= 1e-5);

	return x;
}

int main()
{
	float a, b, c, d; 

	float x; 
	
	printf("请输入方程的系数：");
	
	scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
	
	x = solution(a, b, c, d);
	
	printf("\n");
	
	printf("所求方程的根为：x=%f\n", x);

	return 0;
}

运行结果👇

代码解释👇