平衡二叉树（详细解释+完整C语言）

1.前言

在前面的学习过程中，我们了解到二叉排序树可以在一定程度上提高查找（搜索）的效率，但仍然会出现特殊情况，让二叉排序树失效。例如，将序列{1,2,3,4,5,6}中的元素依次插入到二叉排序树中，会得到右斜树，这就相当于一个单链表了，搜索效率降低为O(n)。

如若不清楚二叉排序树和单链表的，可以看下面两篇文章。

二叉排序树https://blog.csdn.net/weixin_54186646/article/details/124412656?spm=1001.2014.3001.5501
单链表https://blog.csdn.net/weixin_54186646/article/details/123312019?spm=1001.2014.3001.5501

那对于这种情况，我们有没有办法解决呢？于是，前辈们提出了另外一种二叉树类型——平衡二叉树（AVL树）。

2.什么是平衡二叉树

2.1定义

平衡⼆叉查找树：简称平衡⼆叉树。由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的一种高度平衡的⼆叉树，根据科学家的英文名也称为 AVL 树。

它具有以下两个性质：
可以是空树。
假如不是空树，任何⼀个结点的左子树与右子树都是平衡⼆叉树，并且高度之差的绝对值不超过 1。

第一张图：8的左子树高度为2，右子树高度为0，失衡
第二张图：13的左子树高度为3，右子树高度为1，失衡
第三张图：每一个结点的左右子树高度差绝对值不超过1，平衡
于是，图1、图2不是平衡二叉树，图3是平衡二叉树。
另外，对于图1和图2：分别只有结点13、8失衡，其他结点都平衡。

2.2平衡因子

某结点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor）。平衡⼆叉树中不存在平衡因子大于于 1 的节点。

在⼀棵平衡⼆叉树中，节点的平衡因子只能取0、1、-1
0 ：左右子树等高
1：左子树比较高
-1 ：右子树比较高

2.3结点结构

typedef struct AVLNode
{
	int data;
	int height;
	struct AVLNode* left;
	struct AVLNode* right;
}Node;

3.插入

3.1失衡

平衡二叉树的插入同二叉排序树，即：插入元素比当前结点更小，往左子树去找位置；插入元素比当前结点更大，往右子树去找位置。

于是，我们在插入的过程中，就会使原本平衡的二叉树失衡，如图：

显然，上树在插入20后，13的左子树高度为1，右子树高度为3，显然失衡了。这时，我们就需要找到的一种办法，调整这棵树，使之重新平衡，而且这种方法应该是通用的。

3.2旋转

我们给出的方法是旋转这个树。怎么旋转呢？先别急，我们先介绍一个概念，以帮助我们更好的解释旋转。

最小失衡子树：在新插入的结点向上找，以第一个平衡因子绝对值大于1的结点为根的子树称为最小失衡子树。例如：上树中以父节点13的根的树为最小失衡子树。

显然，这时候13也是整课树的根结点，但往往更多的时候，失衡结点也不一定是全树的根结点，很可能只是某一部分子树失衡了，所以我们也只需要调整失衡的子树，其他部分不用调整。那么是怎么调整的呢？

平衡二叉树的失衡调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现的，旋转分为左旋和右旋，其目的，就是减少树的高度（哪边高，就把那边向上旋转）。

3.2.1左旋—右孩子右子树

结点的右孩子替代此结点的位置
右孩子的左子树变成结点的右孩子
结点本身变成右孩子的左子树

以下图为例，在插入结点20后。结点13发生了失衡，需要对13为父节点的子树进行旋转，由于插入的位置是在13右孩子的右子树上，所以我们通过左旋的方式来实现。

通过上述操作，我们把15向上旋转了，让原本的父节点13作为了15的左孩子，此时就变成了三叉树，需要将15原本的左子树接到13的右孩子处（这样，15也是二叉树，14的位置也是对的）

/*插入右孩子的右子树-左旋*/
//传入参数为最小失衡结点tree，对tree进行左旋
Node* right_right(Node* tree)
{
	//结点调整
	Node* k = tree->right;
	tree->right = k->left;
	k->left = tree;

	//高度调整
	k->height = MAX(get_height(k->left), get_height(k->right)) + 1;
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return k;
}

代码实现分别结点调整与高度调整，
结点调整（旋转操作）
获取失衡结点tree的右孩子k;（k是旋转后的子树父节点）
将k的左子树给到了原父节点tree的右孩子
再将tree作为k的左孩子
高度调整（k与tree的高度发生了变化，其他的没变）
选择左子树与右子树更高的高度+1作为旋转后父节点k的高度
选择左子树与右子树更高的高度+1作为旋转后父节点tree的高度

3.2.2右旋-左孩子左子树

那如果是在左孩子的左子树插入结点导致失衡的呢？就采用与右旋相对应的左旋（右与左互换）。

结点的左孩子替代此结点的位置
左孩子的右子树变成结点的左孩子
结点本身变成左孩子的右子树

通过上述操作，我们把8向上旋转了，让原本的父节点13作为了8的右孩子，此时就变成了三叉树，需要将8原本的右子树接到13的右孩子处（这样，8也是二叉树，10的位置也是对的）

/*插入左孩子的左子树-右旋*/
//传入参数为最小失衡结点tree，对tree进行右旋
Node* left_left(Node* tree)
{
	//结点调整
	Node* k = tree->left;//保存tree的左孩子，k将是最终的父节点
	tree->left = k->right;//将k的右孩子接到tree的左子树
	k->right = tree;//tree作为k的右子树

	//高度调整（这里指深度：用左右子树来判断）
	k->height = MAX(get_height(k->left), get_height(k->right)) + 1;
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return k;
}

3.2.3先右旋再左旋-左孩子右子树

这里我们解决了两种插入方式了，但还有两种，如果是在左孩子的右子树或者右孩子的左子树插入导致失衡呢？我们接着看。

左孩子的右子树，即在10的位置插入了元素9，导致13失衡，而插入结点9在13的左孩子8的右子树上。此时，我们先对13的左孩子8右旋，再对13左旋。其中，左右旋操作即3.2.1与3.2.2介绍的操作。

经旋转，此树又平衡了。

/*插入左孩子的右子树-先左旋再右旋*/
//对tree->left左旋(left_left)，对tree右旋(right_right)
Node* left_right(Node* tree)
{
	tree->left = right_right(tree->left);
	tree = left_left(tree);
	return tree;
}

3.2.4先左旋再右旋-右孩子左子树

那如果是右孩子的左子树插入呢？我们依然采用相对应3.2.3的方式（左右互换）。

插入元素14,14按理应放在15后面，于是导致了13失衡。先对失衡结点13右孩子18左旋，再对13右旋。

/*插入右孩子的左子树-先右旋再左旋*/
//对tree->right右旋(left_left),对tree左旋
Node* right_left(Node* tree)
{
	tree->right = left_left(tree->right);
	tree = right_right(tree);
	return tree;
}

这样，我们就介绍完了所有的插入方式与失衡调整的方案，下面做一个总结。

3.3总结

根据以上四种插入方式，旋转方式总结如下：

插入方式	描述	旋转方式
LL	在结点A的左孩子的左子树插入导致A失衡	右旋
RR	在结点A的右孩子的右子树插入导致A失衡	左旋
LR	在结点A的左孩子的右子树插入导致A失衡	先左旋再右旋
RL	在结点A的右孩子的左子树插入导致A失衡	先右旋再左旋

注意：“先左旋”旋转的是失衡结点的左子树，“再右旋”旋转的是失衡结点。

3.4插入代码

结合旋转操作与二叉排序树插入操作的思想，我们给出代码。

/*往根节点为tree的树中插入一个值key*/
//插入位置同二叉排序树的逻辑，大于向右找位置，小于向左找位置
Node* Insert(Node* tree, int key)
{
	//如果为空，就创建一棵树
	if (tree == NULL)
	{
		Node* node = create(key);
		tree = node;
	}
	//向左子树插入
	else if (key < tree->data)
	{
		//递归寻找插入位置
		tree->left = Insert(tree->left, key);
		//判断是否失衡
		if (get_height(tree->left) - get_height(tree->right) == 2)
		{
			//判断插入位置在左孩子的左子树还是右子树
			if (key < tree->left->data)
				tree = left_left(tree);
			else
				tree = left_right(tree);
		}
	}
	//向右子树插入
	else if (key > tree->data)
	{
		tree->right = Insert(tree->right, key);
		if (get_height(tree->right) - get_height(tree->left) == 2)
		{
			if (key > tree->right->data)
				tree = right_right(tree);
			else
				tree = right_left(tree);
		}
	}
	else
		printf("不允许插入重复的值\n");
	//重新调整二叉树深度
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

4.删除

在介绍完插入操作后，我们自然地应该来看看删除操作。删除的思想也同二叉排序树，但需要注意的是删除结点可能会导致树失衡，而且删除此结点，可能导致其他很多结点都失衡。也就是说：插入只需要修正第一个非平衡结点（1个），即可平衡；而删除需要修正所有的非平衡结点。

所以，它比插入操作更复杂，但没关系，我们继续分类讨论：

删除结点的类型：
删除叶子结点
删除结点只有左子树
删除结点只有右子树
删除结点有左、右子树

4.1删除叶子结点

将该节点直接从树中删除
其父结点的子树高度的变化将导致父节点平衡因子的变化，通过向上检索并推算其父节点是否失衡；
如果其父节点未失衡，则继续向上检索推算其父节点的父节点是否失衡…如此反复步骤2的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行步骤 4；
如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行步骤2的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度⼀致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理

4.2删除结点有左子树或右子树

将左子树（右子树）替代原有结点8的位置
结点8被删除后，则以8的父结点13为起始推算点，依此向上检索推算各节点（父、祖先）是否失衡
如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父节点的父结点是否失衡…如此反复步骤2的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行步骤4的处理
如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父结点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行步骤2的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度⼀致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理

4.3删除结点有左右子树

找到被删结点10和替代结点 9 (结点10 的前继结点或后继结点 ——此处选择前继)
将替代结点9 的值赋给结点 10 ，再把替代结点9的左孩子7替换替代结点9的位置
以9的父结点 6为起始推算点，依此向上检索推算父结点或祖先结点是否失衡
如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父节点的父节点是否失衡…如此反复③的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行⑤的处理
如果其父节点失衡，则判断是哪种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根节点的树的高度发⽣变化，则继续进行 ② 的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度⼀致时，则可说明父节点的结节点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理

4.4删除代码

/*删除结点*/
Node* del(Node* tree, int key)
{
	//定位到要删除结点
	Node* node = search(tree, key);
	if (tree == NULL || node == NULL)
	{
		printf("删除失败\n");
		return tree;
	}
	//若删除结点在左子树
	if (key < tree->data)
	{
		//递归找到要删除结点
		tree->left = del(tree->left, key);
		//删除后要检查平衡
		if (get_height(tree->right) - get_height(tree->left) == 2)
		{
			if (key < tree->right->data)
				tree = right_left(tree);
			else
				tree = right_right(tree);
		}
	}
	//若删除结点在右子树
	else if (key > tree->data)
	{
		tree->right = del(tree->right, key);
		if (get_height(tree->left) - get_height(tree->right) == 2)
		{
			if (key < tree->left->data)
				tree = left_left(tree);
			else
				tree = left_right(tree);
		}
	}
	//此时就是要删除结点,//待删除结点有左右孩子-同二叉排序树
	else if (tree->left != NULL && tree->right != NULL)
	{
		Node* min_node = mininum(tree->right);
		tree->data = min_node->data;
		tree->right = del(tree->right, min_node->data);
	}
	//只有一个孩子或者没有孩子
	else
		tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
	
	if (tree)
		tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

5.完整代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct AVLNode
{
	int data;
	int height;
	struct AVLNode* left;
	struct AVLNode* right;
}Node;
#define HEIGHT(node) ((node == NULL)? 0 : (((Node*)(node))->height ))
#define MAX(a,b) ((a > b) ? (a) : (b))

int get_height(Node* node)
{
	return HEIGHT(node);
}

/*插入左孩子的左子树-右旋*/
//传入参数为最小失衡结点tree，对tree进行右旋
Node* left_left(Node* tree)
{
	//结点调整
	Node* k = tree->left;//保存tree的左孩子，k将是最终的父节点
	tree->left = k->right;//将k的右孩子接到tree的左子树
	k->right = tree;//tree作为k的右子树

	//高度调整（这里指深度：用左右子树来判断）
	k->height = MAX(get_height(k->left), get_height(k->right)) + 1;
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return k;
}

/*插入右孩子的右子树-左旋*/
//传入参数为最小失衡结点tree，对tree进行左旋
Node* right_right(Node* tree)
{
	//结点调整
	Node* k = tree->right;
	tree->right = k->left;
	k->left = tree;

	//高度调整
	k->height = MAX(get_height(k->left), get_height(k->right)) + 1;
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return k;
}

/*插入左孩子的右子树-先左旋再右旋*/
//对tree->left左旋(left_left)，对tree右旋(right_right)
Node* left_right(Node* tree)
{
	tree->left = right_right(tree->left);
	tree = left_left(tree);
	return tree;
}

/*插入右孩子的左子树-先右旋再左旋*/
//对tree->right右旋(left_left),对tree左旋
Node* right_left(Node* tree)
{
	tree->right = left_left(tree->right);
	tree = right_right(tree);
	return tree;
}

/*创建一棵树，根结点为node*/
Node* create(int key)
{
	Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));
	//此处可判断是否创建成功，我省略了
	node->data = key;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	node->height = 0;
	return node;
}

/*往根节点为tree的树中插入一个值key*/
//插入位置同二叉排序树的逻辑，大于向右找位置，小于向左找位置
Node* Insert(Node* tree, int key)
{
	//如果为空，就创建一棵树
	if (tree == NULL)
	{
		Node* node = create(key);
		tree = node;
	}
	//向左子树插入
	else if (key < tree->data)
	{
		//递归寻找插入位置
		tree->left = Insert(tree->left, key);
		//判断是否失衡
		if (get_height(tree->left) - get_height(tree->right) == 2)
		{
			//判断插入位置在左孩子的左子树还是右子树
			if (key < tree->left->data)
				tree = left_left(tree);
			else
				tree = left_right(tree);
		}
	}
	//向右子树插入
	else if (key > tree->data)
	{
		tree->right = Insert(tree->right, key);
		if (get_height(tree->right) - get_height(tree->left) == 2)
		{
			if (key > tree->right->data)
				tree = right_right(tree);
			else
				tree = right_left(tree);
		}
	}
	else
		printf("不允许插入重复的值\n");
	//重新调整二叉树深度
	tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

/*查找结点*/
Node* search(Node* tree, int key)
{
	if (tree == NULL || tree->data == key)
		return tree;
	else if (key < tree->data)
		search(tree->left, key);
	else
		search(tree->right, key);
}
/*找到替换结点-左子树的最右边*/
Node* mininum(Node* tree)
{
	if (tree == NULL)
		return NULL;
	while (tree->left)
		tree = tree->left;
	return tree;
}
/*删除结点*/
Node* del(Node* tree, int key)
{
	//定位到要删除结点
	Node* node = search(tree, key);
	if (tree == NULL || node == NULL)
	{
		printf("删除失败\n");
		return tree;
	}
	//若删除结点在左子树
	if (key < tree->data)
	{
		//递归找到要删除结点
		tree->left = del(tree->left, key);
		//删除后要检查平衡
		if (get_height(tree->right) - get_height(tree->left) == 2)
		{
			if (key < tree->right->data)
				tree = right_left(tree);
			else
				tree = right_right(tree);
		}
	}
	//若删除结点在右子树
	else if (key > tree->data)
	{
		tree->right = del(tree->right, key);
		if (get_height(tree->left) - get_height(tree->right) == 2)
		{
			if (key < tree->left->data)
				tree = left_left(tree);
			else
				tree = left_right(tree);
		}
	}
	//此时就是要删除结点,//待删除结点有左右孩子-同二叉排序树
	else if (tree->left != NULL && tree->right != NULL)
	{
		Node* min_node = mininum(tree->right);
		tree->data = min_node->data;
		tree->right = del(tree->right, min_node->data);
	}
	//只有一个孩子或者没有孩子
	else
		tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
	
	if (tree)
		tree->height = MAX(get_height(tree->left), get_height(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

/*前序遍历*/
void pre_order(Node* tree)
{
	if (tree)
	{
		printf("%d ", tree->data);
		pre_order(tree->left);
		pre_order(tree->right);
	}
}

/*中序遍历*/
void in_order(Node* tree)
{
	if (tree)
	{
		in_order(tree->left);
		printf("%d ", tree->data);
		in_order(tree->right);
	}
}

int main()
{
	//第一种情况-左孩子的左子树
	Node* tree1 = NULL;
	int a1[] = { 13, 8, 15, 3, 10};
	int l1 = sizeof(a1) / sizeof(int);
	for (int i = 0; i < l1; i++)
	{
		tree1 = Insert(tree1, a1[i]);
	}
	printf("第一种情况-左孩子的左子树\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n",tree1->height);

	printf("插入1\n");
	tree1 = Insert(tree1, 1);
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree1->height);

	printf("删除结点8\n");
	tree1 = del(tree1, 8);
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree1->height);

	printf("删除结点13\n");
	tree1 = del(tree1, 13);
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree1->height);

	printf("删除结点3\n");
	tree1 = del(tree1, 3);
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree1);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree1->height);
	//第二种情况-右孩子的右子树
	Node* tree2 = NULL;
	int a2[] = { 13, 8, 15, 14, 16  };
	int l2 = sizeof(a2) / sizeof(int);
	for (int i = 0; i < l2; i++)
	{
		tree2 = Insert(tree2, a2[i]);
	}
	printf("第二种情况-右孩子的右子树\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree2);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree2);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree2->height);

	tree2 = Insert(tree2, 20);
	printf("插入20\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree2);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree2);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree2->height);

	//第三种情况-左孩子的右子树
	Node* tree3 = NULL;
	int a3[] = { 13, 8, 15, 3, 10  };
	int l3 = sizeof(a3) / sizeof(int);
	for (int i = 0; i < l3; i++)
	{
		tree3 = Insert(tree3, a3[i]);
	}
	printf("第三种情况-左孩子的右子树\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree3);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree3);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree3->height);

	tree3 = Insert(tree3, 9);
	printf("插入9\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree3);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree3);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree3->height);


	//第四种情况 - 右孩子的左子树
	Node* tree4 = NULL;
	int a4[] = { 13, 8, 18, 15, 20  };
	int l4 = sizeof(a4) / sizeof(int);
	for (int i = 0; i < l4; i++)
	{
		tree4 = Insert(tree4, a4[i]);
	}
	printf("第四种情况-右孩子的左子树\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree4);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree4);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree4->height);

	tree4 = Insert(tree4, 14);
	printf("插入14\n");
	printf("前序遍历:");
	pre_order(tree4);
	printf("\n");
	printf("中序遍历:");
	in_order(tree4);
	printf("\n");
	printf("根结点的深度为:%d\n\n", tree4->height);



}