MUSIC算法相关原理知识（物理解读+数学推导+Matlab代码实现）

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教程链接：MUSIC算法的直观解释：1，MUSIC算法的背景和基础知识_哔哩哔哩_bilibili

MUSIC算法的直观解释：2，我对于MUSIC算法的理解_哔哩哔哩_bilibili

https://blog.csdn.net/zhangziju/article/details/100730081

一、MUSIC算法作用

MUSIC（Multiple Signal Classification），多重信号分类，是一类空间谱估计算法。其思想是利用接收数据的协方差矩阵(Rx)进行特征分解，分离出信号子空间和噪声子空间，利用信号方向向量与噪声子空间的正交性来构成空间扫描谱，进行全域搜索谱峰，从而实现信号的参数估计。

MUSIC算法通常被用来使用麦克风阵列进行声源定位。

例如当麦克风阵列放在一个房间中，房间中存在一个声源。当声源发声时，阵列会接收到来自目标方向的信号，但是也会接受到不同方向的反射信号。MUSIC算法可以剔除掉其余的反射信号，选出来自目标方向的那个信号，从而得到目标的方向。

声波是机械波，通常利用麦克风阵列接受后转换为电信号进行处理。当信号是电磁波时，例如wifi信号，我们拿天线阵列进行接收，此时仍然可以利用MUSIC算法把不同方向信号的角度计算出来。

二、MUSIC算法原理

MUSIC算法适用于来波为平行波，即目标与麦克风阵列的距离L远大于阵元之间间距d。此时来自目标的信号相对于每个阵元的方位角基本可视为相同。具体如下图所示：

图1

1.时延、相位差和目标方位角关系

假设信号源发射信号为 $x=e^{jf}$

当信号从声源目标S传播到阵元1时，信号传播了 $L_{1}$ 距离，假设声速为c，则耗时 $L_{1}/c$

这样便会导致阵元1接受信号 $y_{1}$ 的相位和发射信号 $x$ 不一致，会延迟 $e^{j 2\pi f(L_{1}/c)}$

那么阵元1最终接收信号为: $y_{1}=e^{jf}*e^{j2\pi f(L_{1}/c)}=x*e^{j2\pi f(L_{1}/c)}=x*\beta(\beta=e^{j2\pi f(L_{1}/c)})$

阵元2相对于阵元1多走了 $dcos\theta$ ，那么阵元2接受信号则为：

$y_{2}=e^{jf}*e^{j2\pi f((L_{1}+dcos\theta)/c)}=x*e^{j2\pi f((L_{1}+dcos\theta)/c)}=y_{1}*\phi_{1}=x*\beta*\phi_{1}$

其中 $\phi_{1}=e^{j2\pi f(dcos\theta/c)}$ ，代表阵元2接收信号和阵元1接收信号之间的相位差

阵元3相对于阵元1多走了 $2dcos\theta$ ，那么相应的相位差为： $\phi_{2}=e^{j2\pi f(2dcos\theta/c)}=\phi_{1}^{2}$

则阵元3接收信号为： $y_{3}=y_{1}*\phi_{1}^{2}=x*\beta*\phi_{1}^{2}$

PS：如果还不好理解因为多走了一段距离导致的相位差怎么计算，可以这样理解(以阵元1和2为例)：

假设阵元1接收信号为 $y_{1}=sin(wt)$

因为信号到达阵元2多走了一段距离，那么信号到达阵元2的时间总会相比阵元1延迟 $\Delta t$ （我们通常称之为时延,实际上相位差就是时延导致的）

那么阵元2接收信号则为 $y_{2}=sin(w(t+\Delta t))$

很明显， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的相位差为 $\phi=w(t+\Delta t)-wt=w\Delta t$

由数字信号处理知识可以知道 $w=2\pi f$ ，同时在图1中阵元1和阵元2的时延 $\Delta t=(dcos\theta)/c$

那么就可以得到相位差 $\phi=w\Delta t=2\pi f*(dcos\theta/c)$

2.MUSIC算法核心原理（思路来源）

MUSIC算法的最终目的：计算 $\theta$

从以上推导可以知道 $\theta$ 和两个阵元接收信号的相位差 $\phi$ 紧密相关。能求到 $\phi$ ，就能求得 $\theta$ 。

那么在理想条件，也就是没有任何的反射和折射，且只有一个声源，这时直接用两阵元接收信号相除 $y_{2}/y_{1}$ 就能得到相位差 $\phi$ ，从而得到目标方位角 $\theta$ 。

但是实际上会有很多反射折射信号被麦克风阵列所接收，而且声源可能不止一个，此时该怎么办呢？这就是MUSIC算法需要解决的问题。

好，那么我们假设一共有两个声源A,B，发射信号分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ （暂时不考虑反射和折射）

那么在某时刻t，三个阵元接收信号分别为:

$y_{1}[t]=\beta _{1}x_{1}[t]+ \beta _{2}x_{2}[t]$

$y_{2}[t]=\beta _{1}x_{1}[t]\phi_{1}+ \beta _{2}x_{2}[t]\phi_{2}$

$y_{3}[t]=\beta _{1}x_{1}[t]\phi_{1}^{2}+ \beta _{2}x_{2}[t]\phi_{2}^{2}$

那么某段时间内，麦克风阵列所接收信号为:

$\begin{bmatrix} y_{1}[1]&y_{1}[2]&...&y_{1}[n]\\ y_{2}[1]&y_{2}[2]&...&y_{2}[n]\\ y_{3}[1]&y_{3}[2]&...&y_{3}[n] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &1\\ \phi_{1} & \phi_{2}\\ \phi_{1}^{2} & \phi_{2}^{2} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} \beta_{1}x_{1}[1]&\beta_{1}x_{1}[2]&...&\beta_{1}x_{1}[n]\\ \beta_{2}x_{2}[1]&\beta_{2}x_{2}[2]&...&\beta_{2}x_{2}[n] \end{bmatrix}$

对应可以写成: $Y=\Phi*X$

其中 $Y$ 我们已知， $\Phi$ 是需要求得的， $X$ 可能已知，可能不知（当 $X$ 已知且可逆时，可以直接用逆矩阵求 $\Phi=Y*X^{-1}$ ，但是这样的情况较少）

能不能通过处理 $Y$ ，将等式右边的 $X$ 消除掉？（MUSIC算法的核心）

怎么处理呢？？？

如果能找到三个复数 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ ，分别对3个阵元接收信号进行幅度和相位变换（用1个复数去乘以一个信号，则是对这个信号进行了幅度和相位变换），且变换后接收信号之间完全抵消了，即：

$y_{1}c_{1}+y_{2}c_{2}+y_{3}c_{3}=0$

或用矩阵表示：

$\begin{bmatrix} y_{1}[1]&y_{2}[1]&y_{3}[1]\\ y_{1}[2]&y_{2}[2]&y_{3}[2]\\ ...&...&... \\y_{1}[n]&y_{2}[n]&y_{3}[n] \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} c_{1}\\c_{2}\\c_{3} \end{bmatrix}=\vec0$

把 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 分别代入上式可以得到：

$(\beta _{1}x_{1}+ \beta _{2}x_{2})c_{1}+(\beta _{1}x_{1}\phi_{1}+ \beta _{2}x_{2}\phi_{2})c_{2}+(\beta _{1}x_{1}\phi_{1}^{2}+ \beta _{2}x_{2}\phi_{2}^{2})c_{3}=0$

即：

$(\beta_{1}c_{1}+\beta_{1}\phi_{1}c_{2}+\beta_{1}\phi_{1}^{2}c_{3})x_{1}+(\beta_{2}c_{1}+\beta_{2}\phi_{2}c_{2}+\beta_{2}\phi_{2}^{2}c_{3})x_{2}=0$

MUSIC算法在此时进行了一个假设，即假设信号 $x_{1}$ 和信号 $x_{2}$ 是不相关（MUSIC算法的假设条件1）的（当信号 $x_{1}$ 和信号 $x_{2}$ 线性相关时，可以找到一个非零复数 $c$ ，使得 $x_{1}=c*x_{2}$ ）

那么此时上面公式中 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的系数必须都为0，即：

$\begin{Bmatrix} \beta_{1}c_{1}+\beta_{1}\phi_{1}c_{2}+\beta_{1}\phi_{1}^{2}c_{3}=0\\ \beta_{2}c_{1}+\beta_{2}\phi_{2}c_{2}+\beta_{2}\phi_{2}^{2}c_{3}=0 \end{matrix}$

上式中系数 $\beta_{1}$ 和 $\beta_{2}$ 可以直接消除掉，那么可以看出，只要找到 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ 便可求出 $\phi_{1}$ 和 $\phi_{2}$

那么现在问题就转换为了，如何找到这一组复数 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ ？？？

要能找到这一组复数，必须满足：阵元个数 > 声源信号的个数（MUSIC算法的假设条件2）

其实最终就是解：

$(c_{1},c_{2},c_{3})*(1,\phi_{1},\phi_{1}^{2})^{T}=0$ 和 $(c_{1},c_{2},c_{3})*(1,\phi_{2},\phi_{2}^{2})^{T}=0$

即 $\begin{vmatrix} \vec c*\vec a \end{vmatirx}=0$ ，那么MUSIC算法是通过求 $1/\begin{vmatrix} \vec c*\vec a \end{vmatirx}$ 的最大值（谱峰搜索）来找相应的解 $\phi$ ，对应的也就是相应的目标方位角 $\theta$ 。

3.MUSIC算法步骤总结

窄带远场信号的DOA数学模型为：

$X(t) = A(\theta)s(t)+N(t)$

其中X为阵列接收到的信号矩阵，两个维度分别代表：阵元个数(number of array elements)、采样点数(snapshots)；A为阵列方向矩阵，两个维度分别代表：阵元个数、信号方向的方向向量；s为信号源发射信号矩阵，两个维度分别代表：信号源个数、采样点数；N为噪声矩阵，两个维度分别为阵元个数、采样点数。

那么阵列接收数据的协方差矩阵为：

$R = E[XX^H]=AE[SS^H]A^H+\sigma^2I=AR_{s}A^H+\sigma^2I$

由于信号和噪声互相独立，数据协方差矩阵可以分解为信号、噪声相关的两部分，其中Rs是信号的协方差矩阵，ARsA^H是信号部分。

对R进行特征分解有：

$R = U_{s}\Lambda_{s}U_{s}^{H}+U_{N}\Lambda_{N}U_{N}^{H}$

式中，Us是由R的所有特征值中较大的（信号源个数）个特征向量组成的子空间，称为信号子空间；Un是由R的所有特征值中娇小的（阵元个数-信号源个数）个特征向量组成的子空间，称为噪声子空间。

根据之前我们所推导的MUSIC算法的条件，要求理想情况下信号子空间和噪声子空间正交，也就是信号子空间中的方向向量a(theta)和噪声子空间正交：

$a^{H}(\theta)U_{N}=0$

由于噪声的存在，实际上a(theta)和Un并不能完全正交。因此实际上是通过进行最小优化搜索来实现的：

$\theta_{MUSIC} = argmin_{\theta}\ a^{H}(\theta)U_{N}U_{N}^{H}a(\theta)$

和我们上文所说一样，MUSIC实际上是通过谱峰搜索来求最优解theta：

$P_{MUSIC}=\frac{1}{a^{H}(\theta)U_{N}U_{N}^{H}a(\theta)}$

PS：由于实际中阵列接受数据是有限的，所以通常由协方差矩阵的最大似然估计来代替协方差矩阵：

$\hat{R} = \frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L}XX^H$

总结以上算法原理，MUSIC算法的步骤为：

1.根据N个接收信号矢量得到下面协方差矩阵的估计值：

$R_{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X(i)X^{H}(i)$

2.对第1步得到的协方差矩阵进行特征分解

$R_{x}=AR_{s}A^{H}+\sigma^{2}I$

3.矩阵 $R_{x}$ 会有M个特征值。将其从大到小进行排列： $\lambda_{1}>\lambda_{2}>...>\lambda_{M}>0$

其中D(D=信号源个数)个较大的特征值对应信号，将其对应的特征向量看做信号部分空间。

M-D(M=阵元个数)个较小的特征值对应噪声，将其对应的特征向量看做信号部分空间，得到噪声矩阵 $E_{n}$

4.使 $\theta$ 不断变化，计算谱函数：

$P(\theta)=\frac{1}{a^{H}(\theta)E_{n}E_{n}^{H}a(\theta)}$ 通过寻找谱峰来计算波达方向的估计值。此处的 $a(\theta)$ 为阵元的方向相应向量。

$a(\theta_{k})=[1,e^{-j\phi_{k}},...,e^{-j(M-1)\phi_{k}}]$ ， $\phi_{k}=\frac{2\pi d}{\lambda}sin\theta_{k}$

4.Matlab代码实现

clear all
close all
clc
%----------------均匀线列阵实现MUSIC算法------------------%
ang2rad = pi/180;                   % 角度转弧度系数
N = 10;                             % 阵元个数
M = 3;                              % 信源个数
theta = [-65,0,45];                 % 来波方向(角度)
snr = 10;                           % 信号信噪比dB
K = 512;                            % 总采样点
delta_d = 0.05;                     % 阵元间距
f = 2400;                           % 信号源频率
c = 340;                            % 声速

d = 0:delta_d:(N-1)*delta_d;
A = exp(-1i*2*pi*(f/c)*d.'*sin(theta*ang2rad));   % 接收信号方向向量
S = randn(M,K);                     % 阵列接收到来自声源的信号
X = A*S;                            % 最终接收信号，是带有方向向量的信号
X1 = awgn(X,snr,'measured');        % 在信号中添加高斯噪声
Rx = X1*X1'/K;                      % 协方差矩阵
[Ev,D] = eig(Rx);                   % 特征值分解
% [V,D] = eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V
% 其列是对应的右特征向量，使得 AV = VD
EVA = diag(D)';                     % 将特征值提取为1行
[EVA,I] = sort(EVA);                % 对特征值排序,从小到大。其中I为index：1,2，...，10
EV = fliplr(Ev(:,I));               % 对应特征矢量排序
 En = EV(:,M+1:N);                  % 取特征向量矩阵的第M+1到N列特征向量组成噪声子空间
 
% 遍历所有角度，计算空间谱
for i = 1:361
    angle(i) = (i-181)/2;           % 映射到-90度到90度
    theta_m = angle(i)*ang2rad;
    a = exp(-1i*2*pi*(f/c)*d*sin(theta_m)).';
    p_music(i) = abs(1/(a'*En*En'*a));
end
p_max = max(p_music);
p_music = 10*log10(p_music/p_max);  % 归一化处理
figure()
plot(angle,p_music,'b-')
grid on
xlabel('入射角/度')
ylabel('空间谱/dB')

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