一、理论基础

1、阿奎拉鹰优化算法

本文提出了一种新的基于种群的优化方法，称为阿奎拉鹰优化算法(Aquila Optimizer, AO)，其灵感来源于阿奎拉鹰在捕捉猎物过程中的自然行为。
AO是一种基于种群的优化方法，优化规则从式(1)中所示的候选解()的种群开始，该候选解在给定问题的上界()和下界()之间随机生成。获得的最佳解在每次迭代中被确定为近似最优解。

其中，表示使用式(2)随机生成的一组当前候选解，表示第个解的决策值(位置)，表示候选解(种群)的总数，表示问题的维度大小。

其中，是一个随机向量，表示给定问题的第个下界，表示给定问题的第个上界。
所提出的AO算法模拟了阿奎拉鹰在狩猎过程中的行为，其中显示了狩猎的每个步骤的动作。因此，提出的AO算法的优化过程用四种方法表示：通过垂直俯冲的高空飞行选择搜索空间、通过短滑翔攻击的等高线飞行在发散搜索空间内探索、通过慢速下降攻击的低空飞行在收敛搜索空间内开发、通过徒步猛扑并抓住猎物。如果，则AO算法可使用不同的行为从探索步骤转移到开发步骤；否则，将很好地执行开发步骤。

（1）Step 1：扩大探索()

在第一种方法()中，阿奎拉识别猎物区域，并通过垂直弯腰的高飞选择最佳狩猎区域。此时，AO让来自高空的探险者四处飞翔，以确定猎物所在的搜索空间区域。该行为的数学模型如式(3)所示：

其中，是由第一种搜索方法()生成的第次迭代的解；是在第次迭代之前获得的最佳解，这反映了猎物的近似位置；用于通过迭代次数控制扩展搜索(探索)；表示在第次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(4)计算；是介于0和1之间的随机值；和分别表示当前迭代和最大迭代次数。

其中，是问题的维度大小，是候选解的数量(种群规模)。

（2）Step 2：缩小探索()

在第二种方法()中，当从高空发现猎物区域时，阿奎拉在目标猎物上方盘旋，准备着陆陆地，然后攻击，这种方法称为短滑翔攻击的等高线飞行。在这里，AO狭窄地探索目标猎物的选定区域，为攻击做准备。该行为的数学模式如式(5)所示：

其中，是由第二个搜索方法()生成的第次迭代的解；是维度空间大小；是Levy飞行分布函数，使用式(6)计算；是在第次迭代时在范围内获得的随机解。

其中，，和分别为服从和的高斯分布随机数，计算如式(7)所示。

其中。在式(5)中，和用于表示搜索中的螺旋形状，计算如下：

其中，

取1到20之间的值，用于固定搜索周期数；是固定为0.00565的值；是从1到搜索空间维数()的整数；是固定为0.005的值。

（3）Step 3：扩大开发()

在第三种方法()中，当阿奎拉准确地指定了猎物区域，并且准备好着陆和攻击时，阿奎拉垂直下降并进行初步攻击，以发现猎物反应。这种方法称为低空慢降攻击。在这里，AO利用目标的选定区域接近猎物并进行攻击。这种行为在数学上如式(13)所示：

其中，是由第三种搜索方法()生成的第次迭代的解；表示第次迭代前猎物的近似位置(获得的最佳解)；表示第次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(4)计算；是一个介于0和1之间的随机值；和是本文中固定为较小值(0.1)的开发调整参数；表示给定问题的下界，表示给定问题的上界。

（4）Step 4：缩小开发()

在第四种方法()中，当阿奎拉接近猎物时，它根据其随机运动在陆地上攻击猎物。这种方法称为“行走并抓住猎物”，AO在最后一个位置攻击猎物。该行为的数学模型如式(14)所示：

其中，是由第四种搜索方法()生成的第次迭代的解；表示在第次迭代时用于平衡搜索策略的质量函数，其使用式(15)计算；表示在搜索猎物期间用于跟踪猎物的AO的各种运动，其使用式(16)计算；呈现从2到0的递减值，表示AO的飞行速率，AO用于在从第一个位置到最后一个位置的过程中跟踪猎物，使用式(17)产生；是第次迭代的当前解。

其中，是介于0和1之间的随机值；和分别表示当前迭代和最大迭代次数。

2、AO算法伪代码

综上所述，在AO中，优化通过生成一组随机预定义的候选解(称为种群)开始迭代过程。通过重复的行为，探索AO的搜索策略，寻找最优解或最优解的合理位置。每个解根据AO的优化过程获得的最佳解更新其位置。为了强调AO搜索策略(即探索和开发)之间的平衡，提供了四种不同的探索和开发搜索策略(即扩大探索、缩小探索、扩大开发和缩小开发)。最后，当满足结束条件时，AO的搜索过程终止。AO的伪代码如图1所示。

二、仿真实验与结果分析

将AO与SSA、WOA、SCA、GWO和MPA进行对比，设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每个算法独立运行30次，以文献[1]中F3、F4(单峰函数/50维)、F9、F11(多峰函数/50维)、F20、F21(固定维度多峰函数/6维、4维)为例，结果显示如下：

函数：F3
AO：最差值:3.118e-100,最优值:6.0869e-159,平均值:1.0397e-101,标准差:5.6926e-101,秩和检验:1
SSA：最差值:25560.9277,最优值:2095.1695,平均值:9962.2291,标准差:5330.5605,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:373225.9712,最优值:113817.6813,平均值:197261.6639,标准差:58304.1276,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值:69179.0478,最优值:24101.737,平均值:45636.2534,标准差:12366.6955,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值:2.8597,最优值:0.0031328,平均值:0.27005,标准差:0.561,秩和检验:3.0199e-11
MPA：最差值:0.245,最优值:0.00012874,平均值:0.035953,标准差:0.064897,秩和检验:3.0199e-11
函数：F4
AO：最差值:5.4952e-52,最优值:1.787e-82,平均值:2.0506e-53,标准差:1.0031e-52,秩和检验:1
SSA：最差值:30.8674,最优值:14.6767,平均值:21.3864,标准差:3.705,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:94.0706,最优值:4.0478,平均值:71.1267,标准差:25.0657,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值:78.1053,最优值:52.0233,平均值:70.5358,标准差:5.3727,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值:0.0022474,最优值:5.0567e-05,平均值:0.00046347,标准差:0.0005151,秩和检验:3.0199e-11
MPA：最差值:5.3416e-08,最优值:1.6962e-08,平均值:2.777e-08,标准差:9.1333e-09,秩和检验:3.0199e-11
函数：F9
AO：最差值:0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
SSA：最差值:138.3197,最优值:46.0643,平均值:89.2749,标准差:20.0392,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值:5.6843e-14,最优值:0,平均值:1.8948e-15,标准差:1.0378e-14,秩和检验:0.33371
SCA：最差值:252.8829,最优值:6.0318,平均值:112.0455,标准差:64.6083,秩和检验:1.2118e-12
GWO：最差值:17.8185,最优值:1.1369e-13,平均值:4.1285,标准差:6.0365,秩和检验:1.2e-12
MPA：最差值:0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
函数：F11
AO：最差值:0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
SSA：最差值:0.96402,最优值:0.212,平均值:0.54735,标准差:0.20427,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值:0.22733,最优值:0,平均值:0.0075776,标准差:0.041504,秩和检验:0.081493
SCA：最差值:44.6881,最优值:1.1746,平均值:7.6688,标准差:8.8166,秩和检验:1.2118e-12
GWO：最差值:0.018878,最优值:0,平均值:0.0029351,标准差:0.00604,秩和检验:0.00066059
MPA：最差值:0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
函数：F20
AO：最差值:-3.0528,最优值:-3.321,平均值:-3.2668,标准差:0.073527,秩和检验:1
SSA：最差值:-3.1546,最优值:-3.322,平均值:-3.247,标准差:0.067766,秩和检验:0.61001
WOA：最差值:-3.0672,最优值:-3.3214,平均值:-3.2527,标准差:0.086995,秩和检验:0.6204
SCA：最差值:-2.6135,最优值:-3.1827,平均值:-2.9946,标准差:0.13406,秩和检验:1.7769e-10
GWO：最差值:-3.0282,最优值:-3.322,平均值:-3.2514,标准差:0.090722,秩和检验:0.10547
MPA：最差值:-3.322,最优值:-3.322,平均值:-3.322,标准差:3.8717e-12,秩和检验:3.0199e-11
函数：F21
AO：最差值:-10.1488,最优值:-10.1531,平均值:-10.152,标准差:0.001254,秩和检验:1
SSA：最差值:-2.6829,最优值:-10.1532,平均值:-8.9785,标准差:2.4442,秩和检验:6.765e-05
WOA：最差值:-2.6298,最优值:-10.1531,平均值:-7.6838,标准差:2.7011,秩和检验:2.9215e-09
SCA：最差值:-0.49652,最优值:-6.5721,平均值:-1.7534,标准差:1.6559,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值:-2.6304,最优值:-10.1528,平均值:-8.7174,标准差:2.456,秩和检验:0.0005264
MPA：最差值:-10.1532,最优值:-10.1532,平均值:-10.1532,标准差:5.1226e-11,秩和检验:3.0199e-11

实验结果表明：与传统的元启发式算法相比，该算法具有显著的优越性。

三、参考文献

[1] Laith Abualigah, Dalia Yousri, Mohamed Abd Elaziz. Aquila Optimizer: A novel meta-heuristic optimization algorithm[J]. Computers & Industrial Engineering, 2021, 157: 107250.