⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。
文章目录
- 离散化
- 基本思想
- 算法思路
- 模板
- 例题：区间和
- 题目分析
- code
离散化
基本思想
首先，离散化是指数值域非常大，例如，但是个数相对较少,例如只有
个, 但在我们的程序中需要通过这些数值作为下标,且依赖的是这些数值之间的顺序关系（当然通常这些数是有序的）。如果为了这
个数而开一个
的数组过于浪费空间，因此我们可以采用离散化的方法，将这些数映射到
上，这个过程就叫做离散化。
注意：这里的映射数字指的是元素的下标数字，而非元素本身的数值。
算法思路
对于有序数组进行映射，其基本思路如下：
针对可能存在的两个问题，有以下的解决方法：
1.数组中可能存在重复元素 ==> 对数组进行去重
常见写法：用cpp中的库函数来实现。
unique函数：将数组中的元素去重，并且返回去重后数组的尾端点。
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
2.如何算出x离散化后的值 ==> 用二分法
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
// 映射到1, 2, ...n
// 不加1的话是从0开始映射。
return r + 1;
}
模板
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
// 映射到1, 2, ...n
// 不加1的话是从0开始映射。
return r + 1;
}
例题：区间和
假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。
现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加c。
接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r]之间的所有数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。
再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。
数据范围
,
,
,
输入样例：
3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8
输出样例：
8
0
5
题目分析
数据范围很大，因此不能用哈希表，并且数轴上的数字是离散的，整体是稀疏的，我们可以采用离散化的方式进行映射。
- add : 保存真实的下标和相应的值
- alls : 用来保存真实的下标和映射的下标的关系
- query : 用来保存查询的左右两个端点
- a : 保存映射的坐标所对应的值
- s: 保存映射的坐标所对应的值的前缀和
第一步: 输入数轴上所对应的值
for(int i=0;i<n;i++)
{
int index,x; cin>>index>>x;
add.push_back({index,x});//index 是我们真实的下标 x是数值
alls.push_back(index);// 将真实的下标和我们想象的坐标建立映射关系
}
第二步: 输入我们的查询的区间
for(int i=0;i<m;i++)
{
int l,r; cin>>l>>r;
query.push_back({l,r});//保存查询的区间
alls.push_back(l);
//将其左右端点也映射进来，目的是可以让我们在虚拟的映射表里找到，这对于我们后面的前缀和操作时是十分的方便的。
//如果当我们在虚拟的映射表里找的时候，如果没有找到左右端点，那么前缀和无法求。
alls.push_back(r);
}
第三步: 将虚拟的坐标排序并去重
为啥去重:
是因为当我们输入
3 5
3 6
即给数轴上3的点加5 再加 6时。此时我们的坐标映射表里有了两个3 3 但其实它们对应的是同一个坐标。故需要去重，排序。
sort(alls.begin(), alls.end());//排序
alls.erase(unique(alls), alls.end());//去重(坐标)
第四步：根据真的坐标，来找到对应虚拟的坐标，将其位置加上其相对应的数值。
根据真的坐标找其对应的映射的坐标，用二分来查找。
int find(int x)
{
int l=0,r=alls.size()-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(alls[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
return l+1;// 因为要求前缀和，故下标从1开始方便，不用额外的再处理边界。
}
for(int i=0;i<add.size();i++)
{
int x=find(add[i].first);
a[x]+=add[i].second;
}
最后一步: 求前缀和，根据我们的查询的区间来输出区间的和
for(int i=1;i<=alls.size();i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
for(int i=0;i<query.size();i++)
{
int l=find(query[i].first),r=find(query[i].second);
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
}
code
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 300010;
int n,m;
int a[N],s[N];// a[N]是储存的数组，s[N]储存前缀和
vector<int> alls;
// 定义了两个pair的变量，add和query。
vector<PII> add, query;
int find(int x)
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while(l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x)r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
// 对数字与坐标输入
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int x,c;
cin >> x >> c;
add.push_back({x, c});
alls.push_back(x);
}
// 对左右边界输入
for(int i = 0; i < m; i++)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
query.push_back({l, r});
alls.push_back(l);
alls.push_back(r);
}
// 进行去重
sort(alls.begin(), alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()), alls.end());
// 遍历add
for(auto item : add)
{
// 找到该值的位置
int x = find(item.first);
// 用数组存储该值，相当于在空数组上加上这个数字
a[x] += item.second;
}
// 前缀和数组
for(int i = 1; i <= alls.size(); i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];
for(auto item : query)
{
// 找到左右边界的位置
int l = find(item.first), r = find(item.second);
// 输出该段的和
cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
}
return 0;
}
注意：经过此过程，alls数组上只有要添加的值与区间的边界。
上面是c++的写法，通常在Java和Python中也可以自己实现这种去重的unique算法。可以采用双指针算法实现。
写一个迭代器数组，双指针判断，遍历数组，如果元素不是首数字且不和后一位相同，则记录在a[j]数组中。
注意是在同一个数组中操作的，但是可以保证去重数组长度始终小于等于原数组。最后返回a[0] ~ a[j – 1]即可。
vector<int>::iterator unique(vector<int> &a)
{
int j = 0;
for(int i = 0; i < a.size(); i++)
{
if(!i || a[i] != a[i - 1])
a[j++] = a[i];
}
// 在a[0] ~ a[j - 1]有所有a中不重复的数
return a.begin() + j;
}
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