迪杰斯特拉(Dijkstra’s )算法——解决带权有向无向图最短路径

迪杰斯特拉算法(Dijkstra’s Algorithm)，又称为狄克斯特拉算法，是一种用于解决带权重有向图或无向图最短路径问题的算法。该算法由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·狄克斯特拉在1956年发明，是一种广泛应用于网络路由和其他领域的算法。

在 2001 年的一次采访中，Dijkstra 博士透露了他设计这个算法的起因和过程：

从 Rotterdam 到 Groningen 的最短路线是什么？我花了大概 20 分钟时间设计了这个寻找最短路径的算法。一天早上我正和我年轻的未婚妻在 Amsterdam 逛街，觉得有点累了，我们就坐在咖啡厅的露台上喝了一杯咖啡，我在想是否能够解决这个问题，然后，我设计出了这个最短路径算法。我说过，这是一个 20 分钟的设计。事实上，三年之后的 1959 年它才被发布，现在看来依然很不错，其原因之一是我当时设计的时候没有纸和笔，从而不得不极力避免所有可避免的复杂性。最终，令我惊讶的是，这个算法成为了我成名的基石之一。——引自文章《An interview with Edsger W. Dijkstra》.

一、 算法原理

迪杰斯特拉算法的核心思想是：假设当前已知从起点到某点的最短路径为已经确定的最短路径，然后通过不断扩展已知的最短路径来逐步得到起点到其他所有点的最短路径。

具体来说，算法如下：

初始化算法

• 选定一个起点s，并初始化一个距离数组dist，其中dist[i]表示起点s到节点i的最短距离，初始时将所有元素设置为正无穷。
• 记录一个集合S，代表已经求出最短路径的节点集合，初始时S只包含起点s。
• 对于每个节点i，记录一个前驱节点prev[i]，表示从起点s到节点i的最短路径上i的前一个节点，初始时将所有元素设置为-1。

循环求解

• 从距离数组dist中找出不属于集合S且距离最近的节点u，将其加入集合S中。
• 对于节点u的所有邻接节点v，更新它们的最短距离和前驱节点：

• 如果通过u到达v的距离比当前已知的最短距离更小，则更新dist[v]和prev[v]。
• 否则保持dist[v]和prev[v]不变。

• 如果集合S包含所有节点(即已经找到了起点到所有节点的最短路径)，算法结束。

输出结果

• 根据prev数组可以重构出起点到每个节点的最短路径。

二、 算法实现

下面给出C++语言实现的迪杰斯特拉算法示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;  // 定义正无穷

// 定义图的邻接表表示
typedef pair<int, int> P;   // first表示节点编号，second表示边权值
vector<vector<P>> graph;

// 迪杰斯特拉算法函数
void dijkstra(int start, vector<int>& dist, vector<int>& prev) {
    int n = graph.size();
    dist.resize(n, INF);
    prev.resize(n, -1);

    dist[start] = 0;
    prev[start] = start;

    priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;   // 小根堆，存储节点编号和距离
    pq.push(make_pair(start, 0));

    while (!pq.empty()) {
        P p = pq.top();
        pq.pop();

        int u = p.first, d = p.second;
        if (dist[u] < d) continue;

        for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {
            int v = graph[u][i].first, w = graph[u][i].second;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                prev[v] = u;
                pq.push(make_pair(v, dist[v]));
            }
        }
    }
}

// 测试代码
int main() {
    int n = 5;   // 节点数
    graph.resize(n);

    // 初始化图
    graph[0].push_back(make_pair(1, 2));
    graph[0].push_back(make_pair(2, 4));
    graph[1].push_back(make_pair(2, 1));
    graph[1].push_back(make_pair(3, 2));
    graph[2].push_back(make_pair(3, 3));
    graph[2].push_back(make_pair(4, 2));
    graph[3].push_back(make_pair(4, 5));

    // 运行算法
    vector<int> dist, prev;
    dijkstra(0, dist, prev);

    // 输出结果
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << "Node " << i << ": ";
        if (dist[i] == INF) {
            cout << "Unreachable" << endl;
        } else {
            cout << "Distance = " << dist[i] << ", Path = ";
            int j = i;
            while (prev[j] != j) {
                cout << j << " <- ";
                j = prev[j];
            }
            cout << j << endl;
        }
    }

    return 0;
}

在上面的代码中，我们首先定义了一个邻接表graph来表示图。每个元素graph[i]是一个vector数组，表示节点i的邻接节点和对应的边权值。

然后，我们实现了dijkstra()函数来执行迪杰斯特拉算法。该函数接受三个参数：起点start，以及两个输出参数dist和prev，分别表示节点到起点的最短距离和前驱节点。

在函数内部，我们先初始化dist和prev数组，将所有元素分别设为正无穷和-1。然后，我们创建一个小根堆pq(用STL中的priority_queue实现)，用来存储节点编号和距离。将起点加入小根堆中，距离设为0。

接下来，我们不断从小根堆中取出距离最近的节点u，并更新它的所有邻接节点v的最短距离和前驱节点。如果新的距离比当前已知的最短距离更小，则将v加入小根堆中，并更新dist[v]和prev[v]。

最后，我们输出每个节点到起点的最短距离和路径。如果节点不可达，则输出Unreachable。需要注意的是，在重构路径时，我们可以通过prev数组从终点出发往前逐个查找前驱节点，以构建完整路径。

假设有如下的图示例，包含6个节点和它们之间的边：

节点: 0 1 2 3 4 5
边: (0, 1, 4), (0, 2, 2), (1, 3, 2), (1, 2, 1), (2, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 4, 1), (3, 5, 3), (4, 5, 4)

现在，我们设定起点为节点0，终点为节点5。让我们通过迪杰斯特拉算法来找到起点0到终点5的最短路径。

首先，我们初始化距离数组dist和前驱数组prev：

dist: [0, INF, INF, INF, INF, INF]
prev: [-1, -1, -1, -1, -1, -1]

然后，我们从起点0开始，将其加入集合S，并更新与起点相邻的节点的最短距离和前驱节点。

迭代1：节点0的邻接节点是节点1和节点2，它们与起点0的距离分别为4和2。由于这两个距离比当前已知的距离要小，所以我们更新dist和prev：

dist: [0, 4, 2, INF, INF, INF]
prev: [-1, 0, 0, -1, -1, -1]

迭代2：下一步我们需要选择距离起点0最近的节点，也就是节点2(距离为2)。将节点2加入集合S，并更新与节点2相邻的节点的最短距离和前驱节点。

节点2的邻接节点是节点1、节点3和节点4，它们与起点的距离分别为3、7和8。由于节点1的距离比当前已知的距离要小，所以我们更新dist和prev：

dist: [0, 3, 2, INF, INF, INF]
prev: [-1, 2, 0, -1, -1, -1]

迭代3：下一步选择距离起点0最近的节点，也就是节点1(距离为3)。将节点1加入集合S，并更新与节点1相邻的节点的最短距离和前驱节点。

节点1的邻接节点是节点3和节点2，它们与起点的距离分别为5和4。由于节点3的距离比当前已知的距离要小，所以我们更新dist和prev：

dist: [0, 3, 2, 5, INF, INF]
prev: [-1, 2, 0, 1, -1, -1]

迭代4：下一步选择距离起点0最近的节点，也就是节点3(距离为5)。将节点3加入集合S，并更新与节点3相邻的节点的最短距离和前驱节点。

节点3的邻接节点是节点4和节点5，它们与起点的距离分别为6和8。由于节点4的距离比当前已知的距离要小，所以我们更新dist和prev：

dist: [0, 3, 2, 5, 7, INF]
prev: [-1, 2, 0, 1, 3, -1]

迭代5：下一步选择距离起点0最近的节点，也就是节点4(距离为7)。将节点4加入集合S，并更新与节点4相邻的节点的最短距离和前驱节点。

节点4的邻接节点是节点3和节点5，它们与起点的距离分别为6和11。由于节点3的距离比当前已知的距离要小，所以我们更新dist和prev：

dist: [0, 3, 2, 5, 6, INF]
prev: [-1, 2, 0, 1, 3, 4]

迭代6：最后一个节点是终点5，我们将其加入集合S，并完成算法。

此时，起点0到终点5的最短路径为：0 -> 2 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5，总距离为6。

这就是迪杰斯特拉算法的演示过程。通过不断更新最短距离和前驱节点，我们可以找到起点到终点的最短路径。

三、 算法优化

尽管迪杰斯特拉算法已经在实践中证明了其效率和可靠性，但它仍然存在一些优化空间，以进一步提高算法效率。

堆优化

上面我们介绍的算法实现方式使用了小根堆来存储节点编号和距离信息。这样做可以确保我们每次取出的节点都是距离起点最近的。但在节点数较多的情况下，堆的维护和调整成本会很高，影响算法效率。

针对这个问题，我们可以采用更快的数据结构来存储节点信息。例如，我们可以使用斐波那契堆(Fibonacci Heap)或二项堆(Binomial Heap)等高效的堆实现方式来优化算法。

并行计算

迪杰斯特拉算法是一种基于图的算法，因此可以将其分布式计算，以提高计算效率。

例如，我们可以利用MapReduce等分布式计算框架，在多个计算节点上并行执行迪杰斯特拉算法，并在最后将结果汇总。通过这种方式，我们可以显著缩短计算时间，提高算法效率。

基于GPU的优化

由于迪杰斯特拉算法涉及大量的图数据处理和距离计算，因此GPU(Graphics Processing Unit)可以被用来加速算法运行。通过将算法并行化，将图划分到多个GPU处理单元上，我们可以显著提高算法效率。

四、 结论

迪杰斯特拉算法是一种用于解决带权重有向图或无向图最短路径问题的经典算法。该算法基于贪心策略，通过不断扩展已知的最短路径来逐步得到起点到其他所有点的最短路径。

在实际应用中，我们常常需要对算法进行优化，以提升算法效率和性能。例如，我们可以采用更快的堆实现方式、并行计算和GPU加速等方法，以进一步提高算法效率。