实验-动态规划（头歌实践教学平台-ACM/ICPC培训）

第1关：数塔问题

• 任务描述
• 相关知识
• 编程要求
• 解题思路：
• 测试说明
  

  任务描述

  本关任务：编写用动态规划解决数塔问题。

• 相关知识

  为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

  编程要求

  

  求上图从顶层到顶层的一个路径，使路径上的数字和最大。要求输出最大的数字和max和数值和最大的路径。

  解题思路：

  原始信息有层数和数塔中的数据，层数用一个整型变量n存储，数塔中的数据用二维数组data，存储成如下的下三角阵:

• 9
• 12 15
• 10 6 8
• 2 18 9 5
• 19 7 10 4 16
• d[n][j]=data[n][j]， j=1,2,……,n；
• d[i][j]=max(d[i+1][j]，d[i+1][j+1])+data[i][j]， i=n-1,n-2,……1，j=1,2,……,i
• 5
• 9
• 12 15
• 10 6 8
• 2 18 9 5
• 19 7 10 4 16
• max=59
• 数值和最大的路径是：9->12->10->18->10

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：

1. 5
2. 9
3. 12 15
4. 10 6 8
5. 2 18 9 5
6. 19 7 10 4 16

输出示例：

1. max=59
2. 数值和最大的路径是：9->12->10->18->10

开始你的任务吧，祝你成功！

#include <stdio.h>
int main(){
    int a[50][50][4],i,j,n;
    // printf("Please input the number of rows:\n");
    // scanf("%d",&n);
    n = 5;
    i=1;
    a[1][1][1]=9;
    a[2][1][1]=12, a[2][2][1]=15;
    a[3][1][1]=10, a[3][2][1]=6,  a[3][3][1]=8;
    a[4][1][1]=2,  a[4][2][1]=18, a[4][3][1]=9,  a[4][4][1]=5;
    a[5][1][1]=19, a[5][2][1]=7,  a[5][3][1]=10, a[5][4][1]=4, a[5][5][1]=16;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1; j<=i; j++)
        {
            a[i][j][2]=a[i][j][1];
            a[i][j][3]=0;
        }
    for(i=n-1; i>=1; i--)
        for(j=1; j<=i; j++)
            if(a[i+1][j][2]>a[i+1][j+1][2])
            {
                 a[i][j][2] = a[i][j][2] + a[i+1][j][2];
                 a[i][j][3] = 0;
            }
            else
            {
                 a[i][j][2] = a[i][j][2] + a[i+1][j+1][2];
                 a[i][j][3] = 1;
            }
            printf("max=%d\n",a[1][1][2]);
            printf("数值和最大的路径是：");
            j=1;
            for(i=1;i<=n-1;i++)
            {
                printf("%d->",a[i][j][1]);
                j = j+a[i][j][3];
            }
            printf("%d\n\n\n",a[n][j][1]);
    return 0;
}

第2关：最长公共子序列

• 任务描述
• 相关知识
• 编程要求
• 解题思路：
• 测试说明

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决最长公共子序列问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

求字符串序列“ABCDBAB”和“BDCABA”的最长公共子序列

解题思路：

递推关系分析： 设 A=“a0，a1，…，am−1”，B=“b0，b1，…，bn−1”，Z=“z0,z1,…,zk−1” 为它们的最长公共子序列。 有以下结论： 1）如果am−1=bn−1,则zk−1=am−1=bn−1,且“z0,z1,…,zk−2”是“a0,a1,…,am−2”和“b0,b1,…,bn−2”的一个最长公共子序列； 2）如果am−1​=bn−1，则若zk−1​=am−1，蕴涵“z0，z1，…，zk−1”是“a0,a1,…,am−2”和“b0,b1,…,bn−1”的一个最长公共子序列； 3）如果am−1​=bn−1，则若zk−1​=bn−1，蕴涵“z0，z1，…，zk−1”是“a0，a1，…，am−1”和“b0，b1，…，bn−2”的一个最长公共子序列。 定义c[i][j]为序列“a0,a1,…,ai−1”和“b0,b1,…,bj−1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下： 1）c[i][j]=0 如果i=0或j=0； 2）c[i][j]=c[i−1][j−1]+1 如果i,j>0,且a[i−1]=b[j−1]； 3）c[i][j]=max(c[i][j−1],c[i−1][j]) 如果i,j>0,且a[i−1]​=b[j−1]。 由二维数组c的递归定义，c[i][j]的结果依赖于c[i−1][j−1]，c[i−1][j]和c[i][j−1]。可以从c[m][n]开始，跟踪c[i][j]结果的产生过程，从而逆向构造出最长公共子序列。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：

1. a=“ABCDBAB”
2. b=“BDCABA”

输出示例：

1. BCBA

开始你的任务吧，祝你成功！

#include "stdio.h"
#include "string.h"
char a[1000]="ABCDBAB";
char b[1000]="BDCABA";
char str[100];
int c[100][100]; 
int lcs_len()
{   
    int m,n,i,j,lcs;
    m = strlen(a);
    n = strlen(b);
    for(i=0;i<=m;i++) c[i][0]=0;
    for(i=0;i<=n;i++) c[0][i]=0;
    for(i=1;i<=m;i++)
       for(j=1;j<=n;j++)
       {
           if(a[i-1]==b[j-1])
               c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
           else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
                   c[i][j] = c[i-1][j];
                else
                   c[i][j] = c[i][j-1];
       }
    lcs = c[m][n];
    return lcs; 
}
void build_lcs()
{   
    int k,i=strlen(a),j=strlen(b);
    k = lcs_len();
    str[k]=' ';
    while(k>0)
        if(c[i][j]==c[i-1][j])
            i=i-1;
        else if(c[i][j]==c[i][j-1])
                j=j-1;
             else
             {
                 k=k-1;
                 str[k]=a[i-1];
                 j=j-1;
             }
}
int main()
{  
    build_lcs();
    printf("%s",str); 
    return 0;
}

第3关：求序列-2 11 -4 13 -5 -2的最大字段和

• 任务描述
• 相关知识
• 编程要求
• 解题思路：
• 测试说明

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决最大字段和问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

给定由n个整数（可能为负数）组成的序列：a1,a2,……,an, 求该序列的最大子段和。当所有整数均为负数，定义其最大子段和为0。

解题思路：

定义b[j]=max(a[i]+a[i+1]+…+a[j])，其中1<=i<=j，并且1<=j<=n。那么所求的最大子段和可以表示为max b[j]，1<=j<=n。 由b[j]的定义可知，当b[j−1]>0时b[j]=b[j−1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归表达式为: b[j]=max(b[j−1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：

1. 6
2. -2 11 -4 13 -5 -2

输出示例：

1. 20

开始你的任务吧，祝你成功！

#include <stdio.h>
int maxsubsequence(int n,int a[],int b[],int max)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i == 0)
        {
            b[i] = a[i];
            max = b[i];
        }
        else
        {
            if (b[i - 1] <= 0)
                b[i] = a[i];
            else
                b[i] = b[i - 1] + a[i];
            if (b[i] > max)
                max = b[i];
        }
    }
    return max;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int a[1000];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int b[100],max = 0;
    max = maxsubsequence(n, a, b, max);
    printf("%d",max);
}

第4关：求最长的单调递增子序列长度

• 任务描述
• 相关知识
• 编程要求
• 解题思路：
• 测试说明

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决求最长的单调递增子序列长度问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

给定一个长度为n的数组，找出一个最长的单调递增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为7的数组A5，6，7，1，2，8,9，则其最长的单调递增子序列为5，6，7，8，9，长度为5。求318714101223411624的最长的单调递增子序列长度。

解题思路：

设长度为n的数组为(a[0]，a[1],a[2],…，a[n−1])，则假定以a[j]结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j)，则L(j)=max(L(i))+1,i<j且a[i]<a[j]。也就是说，我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j−1)，找出满足条件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(j)（从0到n−1），找出最大值即为最大递增子序列。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：

1. 10
2. 3 18 7 14 10 12 23 41 16 24

输出示例：

1. 6

开始你的任务吧，祝你成功！

#include <stdio.h>
/********** Begin **********/
int main(){
	 int n;
	 scanf("%d",&n);
	 int m[n][3];
	 m[0][1]=1;
	 m[0][2]=0;
	 for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&m[i][0]);
		if(i!=0){
			m[i][1]=0;
			int k=i-1;
			while(k>=0){
				if(m[i][0]>m[k][0]){
						if(k==i-1){
							m[i][1]=m[k][1]+1;
							m[i][2]=k;
						}
						else{
							int max=m[k][1]+1;
							if(max>m[i][1]){
								m[i][1]=max;
								m[i][2]=k;	
							}
					    }
				}
			 k--;
			}
			if(k<0&&m[i][1]==0){
			    m[i][1]=1;
			    m[i][2]=i;
			}
		}
	 }

	int max=m[0][1],j=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
	      if(m[i][1]>=max){
	             max=m[i][1];
	             j=i;
	      }
	 }
	printf("%d\n",max);


}
/********** End **********/

• 第5关：矩阵连乘问题

  • 任务描述
  • 相关知识
  • 编程要求
  • 测试说明

  • 任务描述

    本关任务：编写用动态规划解决矩阵连乘问题。

    相关知识

    为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

    编程要求

    将矩阵连乘积AiAi+1…Aj简记为A[i:j]，其中i<=j。设在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，则其相应加括号为(AiAi+1…Ak) (Ak+1Ak+2…Aj)。A[i:j]的计算量等于三部分计算量之和： （1）A[i:k]的计算量， （2）A[k+1:j]的计算量， （3）A[i:k]与A[k+1:j]相乘的计算量。 设计算A[i:j]所需最少乘积数目为，则原问题的最优值为。 当i=j时,a[i:j]=Ai​，因此，m[i][j]=0,i=1,⋅⋅⋅,n 当i<j时，m[i][j]=i<k<jmin​{m[i][k]+m[k+1][j]+pi−1​pk​pj​} 其中，矩阵Ai​的矩阵数为pi−1​×pi​ 矩阵A1​的维度：p0​p1​=3035 矩阵A2​的维度：p1​p2​=3515 矩阵A3​的维度：p2​p3​=155 矩阵A4​的维度：p3​p4​=510 矩阵A5​的维度：p4​p5​=1020 矩阵A6​的维度：p5​p6​=2025 求这6个矩阵连乘的最小相乘次数。

    测试说明

    平台会对你编写的代码进行测试：

    测试输入：

• 6
• 30 35
• 35 15
• 15 5
• 5 10
• 10 20

• 输出示例：

• m[1][6]=15125
• 20 25

• #include <stdio.h>
  #include <stdlib.h>
  /********** Begin **********/
  int main(){
  	int n;
  	scanf("%d",&n);
  	int a[n][2];
  	int b[n][n]={0};
  	for(int i=0;i<n;i++){
  	    scanf("%d %d",&a[i][0],&a[i][1]);   
  	}
  	
  	for(int i=1;i<n;i++){
  	    for(int j=0;j<n-i;j++){
  	      b[j][j+i]=b[j][j]+b[j+1][j+i]+a[j][0]*a[j][1]*a[j+i][1];         
  	      int k=j+1;
  	      for(;k<j+i;k++){
  	              int t=b[j][k]+b[k+1][j+i]+a[j][0]*a[k][1]*a[j+i][1];
  	                if(t<b[j][j+i]) {
  	                    b[j][j+i]=t;
  	                }
  	              
  	      }
  	
  	    }
  	        
  	}
  	printf("m[%d][%d]=%d",1,n,b[0][n-1]);
  	return 0;
  }
  /********** End **********/