数据结构十弹—二叉树

二叉树

1、树概念及结构
- 1.1、树的概念
- 1.2、树的相关概念
- 1.3、树的表示
- 1.4、树在实际中的运用
2、二叉树概念及结构
- 2.1、二叉树概念
- 2.2、现实中的二叉树
- 2.3、特殊的二叉树
- 2.4、二叉树的性质
3、二叉树的顺序结构
4、二叉树相关习题
总结

1、树概念及结构

1.1、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

注意：
1.树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
2.除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。
3.一颗N个结点的树有N-1条边。

1.2、树的相关概念

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6。
2.叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。
3.非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点。
4.双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点。
5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。
7.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。
8.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
9.树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。
10.堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。
11.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。
12.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。
13.森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4、树在实际中的运用

文件系统通常使用树来组织文件和文件夹之间的关系，比如Linux目录结构。

2、二叉树概念及结构

2.1、二叉树概念

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个数据元素的有限集合，该集合可以为空（空二叉树），也可以由一个称为根（root）的元素及两个不相交的，被分别称为左子树和右子树的二叉树组成.

从上图可知：
1、二叉树不存在度大于2的结点
2.、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树的五种情况：

2.2、现实中的二叉树

2.3、特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4、二叉树的性质

1、若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第n层上最多有2^(n-1)个结点(满二叉树情况).
2、若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1(满二叉树情况).
3、对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有 n0＝n2 ＋1

4.、若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log (n+1). (ps：log (n+1)是log以2
为底，n+1为对数)

5、对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1、若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2、若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3、若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子