本文采用Python及PyTorch版本如下：
-
Python：3.9.0
-
PyTorch：2.0.1+cpu
本文为博主自用知识点提纲，无过于具体介绍，详细内容请参考其他文章。
线性代数 & 微积分
- 1. 线性代数
-
- 1.1 基础
-
- 1.1.1 标量
- 1.1.2 向量
-
- 长度（维度）、形状
- 1.1.3 矩阵
- 1.1.3.1 迹
-
- 1.1.3.2 转置矩阵
- 1.1.3.3 特征值
- 1.1.3.4 奇异值
- 1.1.3.5 逆矩阵
- 1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆
- 1.1.4 张量
- 1.2 向量空间
- 1.3 运算
-
- 1.3.1 加 & 减
- 1.3.2 内积 & 点积
-
- 1.3.2.1 内积
- 1.3.2.1 点积
- 1.3.3 外积 & 克罗内克积
- 1.3.4 哈达玛积
- 1.3.5 矩阵乘积
- 1.3.6 向量-向量叉积
- 1.4 范数
-
- 1.4.1 向量范数（p范数）
-
- 1.4.1.1
范数
- 1.4.1.2
范数
- 1.4.1.3
范数
- 1.4.1.1
- 1.4.2 矩阵范数
-
- 1.4.2.1
范数
- 1.4.2.2 核范数
- 1.4.2.1
- 1.5 距离（向量距离）
-
- 1.5.1
- 1.5.2
- 1.5.3
- 1.5.1
- 1.6 余弦相似度
- 1.7 矩阵分解
-
- 1.7.1 矩阵三角分解（LR / LU分解）
- 1.7.2 矩阵正交三角分解（QR分解）
- 1.7.3 矩阵特征值分解（EVD分解）
- 1.7.4 矩阵奇异值分解（SVD分解）
- 1.8 降维
-
- 1.8.1 基础操作
-
- 1.8.1.1 求和
- 1.8.1.2 平均值
- 1.8.2 PCA主成分分析
- 1.8.3 稀疏矩阵压缩
- 2. 微积分
-
- 2.1 导数 & 微分
- 2.2 偏导数
- 2.3 梯度
- 2.4 Hessian矩阵
- 2.5 Jacobian矩阵
1. 线性代数
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（线性空间）、线性变换及有限维的线性方程组。线性代数已被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
- 线性（Linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。
- 非线性（Non-Linear）则相反，即量与量之间不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数的函数。
1.1 基础
1.1.1 标量
在数学中，标量（Scalar）：亦称作“无向量”，只具有数值大小，没有方向，但有正负之分。
在Python中，标量即为普通的数字类型，包括int（整型）、float（浮点型）、bool（布尔型）和complex（复数）。
在数学定义中，标量等价于零阶张量；在PyTorch中也是如此，但零阶张量被表示为为仅包含一个数字的torch.Tensor类型（等价于仅包含一个元素的列表），并不完全等价于数学上的普通标量（单个数字）。
import torch
x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)
x + y, x * y, x / y, x ** y
1.1.2 向量
在数学中，向量（Vector，亦称欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude）和方向的量，形式上表现为以原点为始点箭头指向终点的坐标。向量一般表示为带箭头的线段，表示其方向；印刷体一般为加粗体字母。
数学表示法用x∈ℝn表示向量。
印刷体：
手写体：
在Python中，向量可以视作由标量值组成的列表，其中的标量值被称作向量的元素（element）或分量（component）。一般可用向量表示数据集中的样本。
在数学定义中，向量等价于一阶张量，在PyTorch中也是如此。
x = torch.arange(4)
x
我们可以通过索引访问元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。
x[3]
长度（维度）、形状
向量的长度与维度等价，我们可以通过Python的内置函数len来访问其长度。
len(x)
当张量为一阶张量（向量）时，我们可以通过shape属性访问其长度。
x.shape
维度之分：
- 张量：张量维度指张量的轴数（阶数）
- 向量：向量维度指元素的数量（长度）
1.1.3 矩阵
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
在Python与数学中，矩阵同样代表二阶张量，以及向量的向量。
数学表示法用A∈ℝm×n来表示矩阵A，即用大写字母来表示矩阵，其中每个元素aij属于第i行第j列。
A的形状为(m,n)或m×n，当m=n时，其被称作方阵（Square Matrix）。
我们可以通过调用函数创建一个5×4的矩阵。
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
与向量相同，我们可以通过索引访问元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。
A[3, 3]
1.1.3.1 迹
迹（trace）运算是方阵对角元素的和：
代码如下：
D = torch.arange(16).reshape(4,4)
D.trace()
在PyTorch中，非方阵迹计算规则如下：
代码如下：
B = torch.arange(20).reshape(4,5)
C = torch.arange(20).reshape(5,4)
B, B.trace(), C, C.trace()
1.1.3.2 转置矩阵
当交换矩阵的行、列时，结果称为矩阵的转置（transpose），一般使用表示矩阵
的转置。
可以通过如下代码访问其转置。
A.T
当时，将
矩阵称为对称矩阵（Systematic Matrix）。
1.1.3.3 特征值
特征值：指设
是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得
成立，则称λ是
具体内容见：特征值分解
1.1.3.4 奇异值
奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。设
的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。
具体内容见：奇异值分解
1.1.3.5 逆矩阵
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=I ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。
求逆矩阵代码如下：
# 矩阵求逆一般建议使用double或float浮点型，否则无法表示元素为小数的逆矩阵
F = torch.tensor([[1., 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
F.inverse()
1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆
对于非方阵，其逆矩阵没有定义，但我们希望通过的左逆
求解线性方程：
即：
Moore-Penrose伪逆（Moore-Penrose广义逆）定义如下：
其中，矩阵、
和
是矩阵
的奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵
的伪逆
是其非零元素取倒数再转置得到的。
对于矩阵：
- 当
时（行数＜列数），方程可能有多个解，
是所有可行解中L2范数
最小的解。
- 当
时（列数＜行数），方程可能没有解，
和
的L2距离
最小。
1.1.4 张量
张量是一个更为一般的定义，其用特殊字体的大写字母表示（），低阶张量与上述三种量的等价关系如下：
-
零阶张量：标量（Scalar）
-
一阶张量：向量（Vector）
-
二阶张量：矩阵（Matrix）
我们同样可以使用类似的方式创建高阶张量，并通过索引访问其中的元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print(X)
print(X[0, 1, 2])
1.2 向量空间
向量空间亦称线性空间，它是线性代数的中心内容和基本概念之一。
设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。
2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为数乘（亦称数量乘法），即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件：
（1）α+β=β+α，对任意α,β∈V.
（2）α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α,β,γ∈V.
（3）存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.
（4）对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
（5）对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
（6）对任意k,l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
（7）对任意k,l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
（8）对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ.
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。
其中，V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。
当P是实数域时，V称为实线性空间；当P是复数域时，V称为复线性空间。
1.3 运算
1.3.1 加 & 减
任意阶张量均可与自身形状相同的张量相加减。若与单一数字相加减，将为张量内所有元素加减对应数字（等同于张量与由对应数字组成、与其形状、大小相同的张量相加减）
标量：
# 标量
a = torch.tensor(1)
b = torch.tensor(2)
a + b, a + 1
向量：
# 向量
e = torch.tensor([1, 2, 3])
f = torch.tensor([2, 3, 4])
e + f, e + 1
矩阵：
# 矩阵
A = torch.arange(20).reshape(4, 5)
B = torch.arange(12, 20 + 12).reshape(4, 5)
A + B, A + 1
高阶张量：
# 高阶张量
X = torch.arange(24).reshape(2 ,3, 4)
Y = torch.arange(12 , 24 + 12).reshape(2 ,3, 4)
X + Y, X + Y
1.3.2 内积 & 点积
1.3.2.1 内积
内积（Inner Product）： 亦称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。
假设有两向量,
，则其内积表示如下：
除此之外，还有 内积空间 的定义，有兴趣的读者可以自行查阅资料了解，这里不过多叙述。
计算向量内积的代码如下：
a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.inner(b)
1.3.2.1 点积
点积（Dot Product）：内积的一种特殊形式，即欧几里得空间内积的定义。
假设有两向量,
，则其点积表示如下：
计算向量点积的代码如下：
a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.dot(b)
1.3.3 外积 & 克罗内克积
克罗内克积（Kronecker product）：张量积的特殊形式
- 克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，结果仍为一个矩阵（数学符号
，精确表达
）
我们以矩阵为例，用数学符号表示其计算过程：
下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的克罗内克积。
标量-克罗内克积：
a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a.kron(b)
向量-克罗内克积：
x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x.kron(y)
矩阵-克罗内克积：
X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X.kron(Y)
高阶张量-克罗内克积：
U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U.kron(V)
1.3.4 哈达玛积
两个张量（标量、向量、矩阵、高阶张量）的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard Product）（数学符号），在代码中用
*表示求哈达玛积。
我们以矩阵为例，用数学符号表示其计算过程：
下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的哈达玛积。
标量-哈达玛积：
a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a * b
向量-哈达玛积：
x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x * y
矩阵-哈达玛积：
X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X * Y
高阶张量-哈达玛积：
U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U * V
1.3.5 矩阵乘积
矩阵乘积（Matrix Product）：，即A的列数须与B的行数相等，
，在代码中用符号
@表示。
标量-标量 矩阵乘积 ：标量与标量乘积可用符号@表示，也可用torch.matmul()运算。
c = torch.tensor([2])
d = torch.tensor([3])
c @ d
向量-矩阵 矩阵乘积 ：
向量与矩阵乘积可用符号@表示，也可用torch.mv()或torch.matmul()运算。
区别：
torch.mv()须确保矩阵为第一个参数，向量为第二个参数，且形状符合运算规则。@或torch.matmul()则无上述限制，可将两者视为普通矩阵进行运算。
e = torch.arange(4.) # 等效于 torch.arange(4.0)
f = torch.arange(5.)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
e @ B, e.matmul(B), B.mv(f)
矩阵-矩阵 矩阵乘积 ：
向量与矩阵乘积可用符号@表示，也可用torch.mm()或torch.matmul()运算。
A = torch.arange(20.).reshape(5,4)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
A @ B, A.mm(B), A.matmul(B)
1.3.6 向量-向量叉积
向量积（Cross Product），又称叉积，是一种在向量空间中向量的二元运算，其可以新产生一个与原两向量都垂直的向量。
可以用数学符号表示叉积，有时也用^表示叉积避免与字母
混淆。
向量积：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
在PyTorch中求两向量叉积的方式如下。
x = torch.tensor([1, 2, 3])
y = torch.tensor([4, 5, 6])
x.cross(y)
1.4 范数
PyTorch范数API
torch.norm(input, p='fro', dim=None, keepdim=False, out=None, dtype=None)
其中，参数释义如下：
- input：输入tensor类型的数据（张量内元素须为浮点型/复数）
- p指定的范数
- ‘fro’：Frobenius范数，即矩阵各项元素的绝对值平方总和。
- ‘nuc’：核范数，即矩阵奇异值之和。
- int型：p范数。
- dim：指定计算维度，默认所有维度计算。
- keepdim：布尔型，决定是否保留dim指定维度。
- out：输出的tensor。
- dtype：指定输出的tensor的数据类型。
首先我们定义所需的向量、矩阵。
x = torch.tensor([1., 2., 3.]) # 数字加小数点创建，默认为double型
y = torch.tensor([4., 5., 6.])
"""另外两种创建方式及不同浮点类型"""
# x = torch.tensor([1, 2, 3], dtype = torch.float64) # 指定float64
# y = torch.tensor([4, 5, 6], dtype = torch.float64)
# x = torch.FloatTensor([1, 2, 3]) # 此方式默认float32
# y = torch.FloatTensor([4, 5, 6])
A = torch.arange(12, dtype = torch.double).reshape(3, 4)
B = torch.arange(20, dtype = torch.double).reshape(4, 5)
1.4.1 向量范数（p范数）
1.4.1.1 范数
曼哈顿范数（L1范数）：向量所有分量绝对值之和，它受异常值影响较小。
代码如下：
x.norm(p=1)
1.4.1.2 范数
欧几里得范数（L2范数）：向量所有分量绝对值平方和的平方根。
代码如下：
x.norm(p=2)
1.4.1.3 范数
切比雪夫范数（L∞范数）：向量所有分量绝对值最大值。
我们已经发现了距离间的规律，这些范数被统称为p范数，可用如下公式表示所有向量p范数：
- 当 p = 1 时，上式表示 曼哈顿范数
- 当 p = 2 时，上式表示 欧几里得范数
- 当 p → ∞ 时，上式表示 切比雪夫范数
1.4.2 矩阵范数
1.4.2.1 范数
弗罗贝尼乌斯范数：类似于向量的L2范数，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数是矩阵元素平方和的平方根。
它具有向量范数的所有性质，代码如下：
# torch默认计算Frobenius范数
A.norm()
1.4.2.2 核范数
核范数：矩阵奇异值的和，可以用来衡量矩阵的稀疏性。我们可用核范数来约束模型的复杂度，防止过拟合。
其中，U是A的奇异值分解（SVD）的左奇异矩阵，表示其L1范数，核范数非负。
该范数常被用于约束矩阵的低秩，对于稀疏性质的数据而言，其矩阵是低秩且会包含大量冗余信息，这些信息可被用于恢复数据和提取特征。
A.norm(p='nuc')
1.5 距离（向量距离）
PyTorch距离API
torch.pairwise_distance(x1, x2, p=2.0, eps=1e-6, keepdim=False)
其中，input表示输入，p表示距离类型（默认为l2距离）
1.5.1 距离
曼哈顿距离（L1距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值之和。
torch.pairwise_distance(x, y, p=1)
1.5.2 距离
欧几里得距离（L2距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值平方和的平方根。
torch.pairwise_distance(x, y, p=2)
1.5.3 距离
切比雪夫距离（L∞距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值的最大值。
我们已经发现了距离间的规律，可用如下公式表示所有向量距离：
- 当 p = 1 时，上式表示 曼哈顿距离
- 当 p = 2 时，上式表示 欧几里得距离
- 当 p → ∞ 时，上式表示 切比雪夫距离
1.6 余弦相似度
余弦相似度：又称为余弦相似性，是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。
PyTorch余弦相似度API
torch.cosine_similarity(x1, x2, dim=1, eps=1e-8)
代码示例如下：
a = torch.tensor([1., 2, 3])
b = torch.tensor([2., 3, 4])
# 'Tensor' object has no attribute 'cosine_similarity'
# Tensor类型对象未内置cosine_similarity方法，需按如下方式调用
torch.cosine_similarity(a, b, dim=0)
1.7 矩阵分解
矩阵分解：将矩阵拆解为数个矩阵的乘积
1.7.1 矩阵三角分解（LR / LU分解）
三角分解：最常见的一种分解方式，便于我们求原矩阵的行列式、逆矩阵等。
1.7.2 矩阵正交三角分解（QR分解）
正交三角分解：矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
1.7.3 矩阵特征值分解（EVD分解）
特征值分解：亦称谱分解（Spectral Decomposition），将矩阵分解成特征值和特征向量表示的矩阵乘法的形式。
定义：是一个n×n方阵，且有n个线性无关的特征向量
，可将
分解为：
其中，Q是n×n方针，且第i列为A的特征向量。
是对角矩阵，其对角线上的元素对应特征值，即
。
只有可对角化矩阵（满秩）才能作特征分解。
1.7.4 矩阵奇异值分解（SVD分解）
定义：是一个m×n实矩阵，存在一个分解使得
其中，是m×m阶正交矩阵，$\Sigma
V$是n×n阶正交矩阵。
奇异值分解使得非方阵也能进行分解，由于必定为实对称矩阵，对它进行特征值分解，被称作对A进行奇异值分解。
其中，和
均为正交矩阵，
是对角矩阵，根据特征值分解可以得到具体说明如下：
被称为A的左奇异矩阵，其列组成的向量是方阵
的特征向量，亦称
被称为A的右奇异矩阵，其列组成的向量是方阵
对角线上的元素
即为A的奇异值，它们等于
特征值的平方根（
），行对应
奇异值分解的代码如下：
A = torch.tensor([[1., 2., 3., 4.],[2., 3., 4., 5.],[3., 4., 5., 6.]])
A.svd()
1.8 降维
1.8.1 基础操作
1.8.1.1 求和
我们可对张量所有元素求和：
x = torch.arange(6, dtype=torch.double)
x, x.sum()
还可以指定按列/行元素求和：
A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0) # 将矩阵列向量求和（沿着行挨个列向量求和）
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1) # 将矩阵行向量求和（沿着列挨个行向量求和）
A_sum = A.sum(axis=[0, 1]) # 沿着行、列对矩阵求和，等价于对矩阵所有元素求和
A_sum_axis0, A_sum_axis1, A_sum
1.8.1.2 平均值
同样，我们可对张量所有元素求平均，也可以指定按列/行元素求平均：
A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)
A_mean = A.mean() # 全部元素求平均
A_mean0 = A.mean(axis=0) # 将矩阵列向量求平均（沿着行挨个列向量求平均）
A_mean1 = A.mean(axis=1) # 将矩阵行向量求平均（沿着列挨个行向量求平均）
A_mean, A_mean0, A_mean1
1.8.2 PCA主成分分析
PCA（principal components analysis）主成分分析，亦称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
在统计学中，主成分分析PCA是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
1.8.3 稀疏矩阵压缩
仅存储矩阵中的非0元素，同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。
其中常用的有：按列压缩（CSC, Compressed sparse column）、按行压缩（CSR, Compressed sparse row）等。
2. 微积分
在深度学习中，我们“训练模型”使其变得更好，即最小化一个损失函数（loss function）。
我们“训练”模型只能将模型与我们实际见到的数据相拟合，因此可将此任务分解为两个关键问题：
- 优化（optimization）：用模型拟合观察数据的过程。
- 泛化（generalization）：指导生成有效性超出用于训练的数据集本身的模型。
2.1 导数 & 微分
假设有一个函数，其输入和输出都是标量。若其导数存在，则极限被定义为：
若存在，则称f在a处可微（differentiable）
2.2 偏导数
在深度学习中，通常需要用到多变量，我们将其思想推广到多元函数（multivariate function）
设，则y关于第i个参数x_i的偏导数（Partial Derivative）为：
2.3 梯度
假设有一个函数，其输入是一个n维向量
，其输出是一个标量，则函数
相对于
的梯度是一个包含n个偏导数的向量：
假设为n维向量，在对多元函数求微分时经常使用以下规则：
- 对于所有
，都有
- 对于所有
，都有
- 对于所有
，都有
同样，对于任何矩阵，都有
。
例如，定义一个函数：
其中：
我们可采用自动微分的方式对示例这种函数求梯度，具体可参考下面两例。
2.4 Hessian矩阵
Hessian矩阵，中文译名为海森矩阵。
假设有一个函数，其Hessian矩阵定义如下：
- 当H为正定矩阵时，则该点是极小值点
- 当H为负定矩阵时，则该点是极大值点
- 当H为不定矩阵时，则该点是非极值点
- 当H为半正定矩阵/半负定矩阵时，
则该点是 “可疑”极值点，需结合其他方法判定。
定义一个函数：
其中：
本例代码采用自动微分的方式，对上述函数对上述函数原点处的Hessian矩阵进行计算：
import torch
# 函数定义
x = torch.tensor([0., 0, 0], requires_grad=True)
b = torch.tensor([1., 3, 5])
A = torch.tensor([[-5, -3, -0.5],[-3, -2, 0],[-0.5, 0, -0.5]])
def func(x):
return b @ x + 0.5 * x @ A @ x
"""两次梯度求解Hessian矩阵"""
# 计算一阶导数,因为我们需要继续计算二阶导数,所以创建并保留计算图
grad = torch.autograd.grad(func(x), x, retain_graph=True, create_graph=True)
# 定义Print数组,为输出和进一步利用Hessian矩阵作准备
p = torch.tensor([])
for anygrad in grad[0]: # torch.autograd.grad返回的是元组
p = torch.cat((p, torch.autograd.grad(anygrad, x, retain_graph=True)[0]))
print(p.view(x.size()[0], -1))
"""API求解Hessian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.hessian(func, x))
2.5 Jacobian矩阵
Jacobian矩阵，中文译名为雅可比矩阵。
假设有一个函数，其由多个函数组成：
其雅可比矩阵定义为：
定义一个函数（）：
import torch
# 函数定义
x = torch.tensor([1., 1, 1], requires_grad=True)
A = torch.tensor([[1.,0,0],[0,0,5],[0,4,-2],[0,0,1]])
def func(x):
return A @ x
"""梯度重组矩阵求解Jacobian矩阵"""
jac = torch.tensor([])
# 分别计算f[i]对x的梯度，再拼接为矩阵
for j in func(x):
jac = torch.cat((jac, torch.autograd.grad(j, x, retain_graph=True)[0]))
print(jac.view(func(x).size()[0], -1))
"""API求解Jacobian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.jacobian(func, x))
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