代码随想录算法训练营第四十二天 _ 动态规划_01背包问题、416.分割等和子集。

学习目标：

动态规划五部曲：
① 确定dp[i]的含义
② 求递推公式
③ dp数组如何初始化
④ 确定遍历顺序
⑤ 打印递归数组 —- 调试
引用自代码随想录！

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学习内容：

二维数组处理01背包问题

• 听起来思路很简单，但其实一点也不好实现。
• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[i][j]的含义 ： 任取[0, i]的物品后放进容量为j的背包 所能放的 最大价值
  ② 求递推公式 ： dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][ j – weight[i] ] + value[i])
  Ⅰ 不放物品 i ： dp[i-1][j]
  Ⅱ 放物品 i : dp[i-1][j – weight[i]] + value[i]
  ③ dp数组如何初始化 ： 按下表的第一行和第一列赋值，其中箭头都是继承来的值，画圈的表示自己取得了最大值。
  ④ 确定遍历顺序 ： 先物品后背包（行） / 先背包后物品（列）

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //m,n分别代表物品种类和背包容量
        int itemSize = 0,bagSize = 0;
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //获取itemSize和bagSize的值
        itemSize = sc.nextInt();
        bagSize = sc.nextInt();
        //初始化对应的重量数组和价值数组
        int[] weight = new int[itemSize];
        int[] value = new int[itemSize];
        //这两个都是物品的属性，大小只和物品数量有关
        for(int i = 0;i < itemSize;i++){
            weight[i] = sc.nextInt();
        }
        for (int i = 0;i < itemSize;i++){
            value[i] = sc.nextInt();
        }
        
        // int[] weight = {1,3,4};
        // int[] value = {15,20,30};
        // int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        int itemSize = weight.length;
        // dp数组的含义是：在[0,i]件物品中选择是否放入背包 的 最大价值
        int[][] dp = new int[itemSize][bagSize+1];
        
        // 初始化dp数组，默认都为0.
        // 只放一件物品时的初始化
        for(int j = weight[0]; j < bagSize+1; j++){
            dp[0][j] = value[0];
        }
        
        // 正常的为dp数组赋值，依赖左上位置的其他的dp值
        for(int i = 1; i < itemSize; i++){
            // j是背包容量
            for(int j = 1; j < bagSize+1; j++){
                // 如果容量不够放入新的物品，则从上一行继承
                if(j < weight[i])   dp[i][j] = dp[i-1][j];
                // 如果容量可以放入新的物品，则从上一行的左侧继承
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[itemSize-1][bagSize]);
        
        // 打印dp数组
        // for (int i = 0; i < goods; i++) {
        //     for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
        //         System.out.print(dp[i][j] + "\t");
        //     }
        //     System.out.println("\n");
        // }
    }
}

一维数组处理01背包问题

• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[j]的含义 ： 任取物品放进容量为j的背包 所能放的 最大价值
  ② 求递推公式 ： dp[j] = max(dp[j] , dp[j – weight[i]] + value[i])
  Ⅰ 不放物品 i ： dp[j]
  Ⅱ 放物品 i : dp[j – weight[i]] + value[i]
  ③ dp数组如何初始化 ： 初始值全部附0，长度为容量的长度加1（j+1）
  ④ 确定遍历顺序 ： 必须先物品后背包（行），且便利背包大小时，必须使用倒序的顺序遍历。（为了防止一个物品被使用多次，倒叙遍历时相同的物品仅能被取用一次）

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //m,n分别代表物品种类和背包容量
        int itemSize = 0,bagSize = 0;
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //获取itemSize和bagSize的值
        itemSize = sc.nextInt();
        bagSize = sc.nextInt();
        //初始化对应的重量数组和价值数组
        int[] weight = new int[itemSize];
        int[] value = new int[itemSize];
        //这两个都是物品的属性，大小只和物品数量有关
        for(int i = 0;i < itemSize;i++){
            weight[i] = sc.nextInt();
        }
        for (int i = 0;i < itemSize;i++){
            value[i] = sc.nextInt();
        }
        
        // int[] weight = {1,3,4};
        // int[] value = {15,20,30};
        // int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 创建dp一维数组
        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[] dp = new int[bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后，其中默认的值就是0
        
        // 填充dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            // 必须使用倒叙遍历背包大小
            for (int j = bagSize; j > 0; j--) {
                // 防止越界错误
                if (j < weight[i]) {
                    dp[j] = dp[j];
                } else {
                    dp[j] = Math.max(dp[j] , dp[j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
        
        System.out.print(dp[bagSize]);

        // 打印dp数组
        // System.out.print(dp[goods-1][bagSize] + "\n");
        // for (int i = 0; i < goods; i++) {
        //     for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
        //         System.out.print(dp[i][j] + "\t");
        //     }
        //     System.out.println("\n");
        // }
    }
}

416.分割等和子集

该题目可以等效为一个重量和价值相等的01背包问题，所以使用一维的数组就可。

• 因为题目问的是可不可以分为两个等和子集，没有问具体应该怎么分。
• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[j]的含义 ： 容量为j的背包的最大价值
  ② 求递推公式 ： dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])
  ③ dp数组如何初始化 ： 全部为零
  ④ 确定遍历顺序 ： 先遍历物品，再倒叙遍历背包。
• 实现的特别巧妙，将该问题视为一个重量和价值相等的01背包问题，将目标和作为背包的重量，只要背包重量最大时能达到目标和的价值，即找到了一组数满足目标，那么此时该数组就可以分为等和的子集。

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int total = 0;
        for(int num :nums){
            total += num;
        }
        if(total % 2 == 1)   return false;
        // target就是背包的最大重量
        int target = total / 2;

        int[] dp = new int[target+1];

        // 初始化：数组定义的时候已经被全部赋值0

        // 递推函数
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            for(int j = target; j >= 0; j--){
                if(j < nums[i])   dp[j] = dp[j];
                else{
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]]+nums[i]);
                }
            }
        }

        // 因为target是整除2得到的，所以只要能找到一组数使其和为target
        // 剩下的数的和也是target
        if(dp[target] == target)   return true;
        else    return false;

    }
}

学习时间：

• 上午两个半小时，整理文档半小时。