2024 美国大学生数学建模竞赛 美赛（D题）五大湖水资源调配问题 国际大学生数学建模竞赛| 建模秘籍&文章代码思路大全

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问题一：建立一个包括五大湖和连接从苏必利尔湖到大西洋的河流的网络模型。在一年中的任何时候确定五大湖的最佳水位，考虑到各利益相关者的愿望。制定算法，以根据湖泊的流入和流出数据维持五大湖的最佳水平。

数学建模是解决这类问题的关键步骤。在建立一个包括五大湖和连接河流的网络模型时，可以使用系统动力学方程来描述水位的变化。以下是一个简化的模型，你可以根据具体情况进行修改和扩展：

假设和符号说明：

• ：湖泊在时间的水位。
• ：湖泊在时间的流入流量。
• ：湖泊在时间的流出流量。
• ：在时间的降雨量。
• ：在时间的雪融化量。
• ：湖泊在时间的蒸发量。
• ：在时间的冰渍的影响。

动力学方程：

1. 湖泊水位变化：
   

2. 湖泊流入和流出：
   
   

3. 降雨和融雪的影响：
   
   

4. 蒸发和冰渍的影响：
   
   

优化目标：

最小化或最大化某个目标函数，例如综合考虑各利益相关者的成本和收益，以确定最佳水位。

算法：

1. 初始化水位： 设定初始水位。
2. 模拟时间演进： 使用数值积分方法（如欧拉方法或Runge-Kutta方法）模拟时间的演进，计算水位和流量的变化。
3. 优化算法： 在每个时间步骤上，通过优化算法调整水位，以满足各利益相关者的需求和系统的优化目标。

注意事项：

• 模型中的参数（，，，等）需要根据实际情况进行调整和校准。
• 利益相关者的成本和收益应转化为目标函数中的权重和约束条件。

按照五大湖的位置分析可能存在的利益相关者，并使用数学公式表示他们的期望和担忧。

利益相关者分析：

1. 苏必利尔湖 (Superior)：

   • 航运业期望：
     
   • 居民期望：
     
   • 渔业期望：
     

2. 密歇根湖 (Michigan)：

   • 航运业期望：
     
   • 居民和企业期望：
     
   • 生态系统期望：
     

3. 休伦湖 (Huron)：

   • 航运业期望：
     
   • 农业期望：
     
   • 居民期望：
     

4. 伊利湖 (Erie)：

   • 航运业期望：
     
   • 农业期望：
     
   • 居民期望：
     

5. 安大略湖 (Ontario)：

   • 航运业期望：
     
   • 生态系统期望：
     
   • 居民期望：
     

• ：湖泊的出流流量。
• ：湖泊的最小出流要求。
• ：湖泊的最小水位要求。
• ：湖泊的最大水位要求。

在五大湖水位管理问题中，存在多个利益相关者，每个利益相关者都有不同的需求和关切。以下是可能存在的一些主要利益相关者及其关注点：

1. 居民和企业：

   • 期望： 居民和企业可能希望保持稳定的水位，以避免洪水和其他自然灾害对住宅和企业的影响。
   • 担忧： 过高或过低的水位可能对岸边房产和基础设施造成损害，从而影响生活和业务。

2. 农业：

   • 期望： 农业领域可能需要适度的湖泊水位，以供灌溉和农业用水。过高或过低的水位可能对农业产量产生不利影响。
   • 担忧： 洪水可能导致农田被淹没，而过低的水位可能导致灌溉问题。

3. 航运业：

   • 期望： 航运行业需要足够的水深，以确保大型船只能够自由通行湖泊和连接的水道。
   • 担忧： 过低的水位可能导致航运难以进行，影响货物运输和经济活动。

4. 渔业：

   • 期望： 渔业希望维持适度的水位，以保护鱼类的栖息地，同时维持渔业可持续性。
   • 担忧： 过高或过低的水位可能影响鱼类产卵和栖息地，对渔业产生负面影响。

5. 生态系统：

   • 期望： 生态系统需要维持相对稳定的水位，以保护湖泊周边的植物和动物栖息地。
   • 担忧： 极端的水位波动可能导致湖泊生态系统的破坏，对生态平衡产生负面影响。

6. 政府机构：

   • 期望： 政府可能希望实现综合管理，平衡各利益相关者的需求，确保社会和经济的可持续发展。
   • 担忧： 水位极端变化可能导致政府需要投入更多资源进行救援和应急管理。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义湖泊的数量
num_lakes = 5

# 初始化湖泊的水位和流量
initial_water_levels = np.ones(num_lakes) * 100  # 初始水位
inflows = np.ones(num_lakes) * 10  # 流入流量
outflows = np.ones(num_lakes) * 5  # 流出流量

# 定义模型
def model(water_levels, t):
    dHdt = np.zeros(num_lakes)
    for i in range(num_lakes):
        # 计算湖泊的流入和流出
        inflow = sum([k_in_ij * (water_levels[j] - water_levels[i]) for j in range(num_lakes)])
        outflow = sum([k_out_ij * (water_levels[i] - water_levels[j]) for j in range(num_lakes)])
        
        # 计算水位变化率
        dHdt[i] = inflow - outflow - evaporation_rate(water_levels[i]) - ice_effect(water_levels[i])
    
    return dHdt

# 定义湖泊之间的连接关系参数
k_in_ij = np.random.rand(num_lakes, num_lakes)
k_out_ij = np.random.rand(num_lakes, num_lakes)

# 定义蒸发和冰渍的函数
def evaporation_rate(water_level):
    return 0.1 * water_level

def ice_effect(water_level):
    return 0.05 * water_level

# 定义模拟时间范围
t = np.linspace(0, 100, 100)

# 解微分方程组
water_levels_solution = odeint(model, initial_water_levels, t)

# 可视化结果
for i in range(num_lakes):
    plt.plot(t, water_levels_solution[:, i], label=f"Lake {i+1}")

plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Water Level')
plt.legend()
plt.show()

问题二：了解你的两个控制坝的流出控制算法对其流程数据的敏感性。根据2017年的数据，你的新控制是否会导致各利益相关者在那一年获得满意或优于实际记录的水平

要分析两个控制坝的流出控制算法对其流程数据的敏感性，以及新控制是否会导致各利益相关者在2017年获得满意或优于实际记录的水平：

1. 模型验证： 使用已有的流程控制算法模型，对比模型模拟的水位和实际记录的水位，验证模型的准确性。如果存在差异，可能需要调整模型参数或算法。

2. 敏感性分析： 对已有的流程控制算法进行敏感性分析，了解各个参数对水位的影响程度。这可以通过改变每个参数的值，观察水位的变化情况来实现。

3. 新控制算法设计： 基于敏感性分析的结果，设计新的流程控制算法。这可能包括调整参数、引入新的因素或改变控制策略，以更好地满足各利益相关者的需求。

4. 模拟新控制算法： 使用新设计的控制算法，模拟2017年的水位变化。比较模拟结果和实际记录，评估新算法的效果。

5. 利益相关者满意度评估： 将新控制算法的模拟结果与实际记录进行比较，评估各利益相关者在2017年是否获得了满意或优于实际记录的水平。这可能涉及到各方的成本和收益的综合考虑。

6. 反馈和优化： 根据评估结果，收集各利益相关者的反馈，进行必要的调整和优化。可能需要进一步改进控制算法，以更好地平衡各方的需求。

在建模水流控制问题时，可以使用基本的水文动力学方程来描述水位变化。以下是一个简化的模型，其中包括流入、流出、蒸发和降雨等因素：

基本动力学方程：

1. 湖泊水位变化：
   

2. 湖泊流入和流出：
   
   

3. 蒸发和降雨的影响：
   
   

注解：

• ：湖泊的水位。
• ：湖泊的总流入流量。
• ：湖泊的总流出流量。
• ：湖泊对湖泊的流入流量的影响系数。
• ：湖泊对湖泊的流出流量的影响系数。
• ：湖泊的蒸发量。
• ：降雨量。
• ：蒸发函数，可能取决于湖泊的水位和空气温度。
• ：降雨函数，可能取决于时间。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义模型
def model(y, t):
    H = y[0]

    # 模型参数，需要根据实际情况调整
    kin = 0.1
    kout = 0.2
    air_temperature = 25  # 空气温度
    other_inflow = 0.05
    other_outflow = 0.03

    # 方程组
    dHdt = (kin * (H_other - H) - kout * (H - H_other) - evaporation_rate(H, air_temperature) + other_inflow - other_outflow)
    
    return [dHdt]

# 定义蒸发函数
def evaporation_rate(H, T_air):
    # 一种简化的蒸发函数，需要根据实际情况进行更详细的定义
    return 0.02 * H * (1 + 0.1 * (T_air - 20))

# 初始条件
H_initial = 100

# 模拟时间范围
t = np.linspace(0, 100, 100)

# 解微分方程
y = odeint(model, [H_initial], t)

# 可视化结果
plt.plot(t, y[:, 0], label='Water Level')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Water Level')
plt.legend()
plt.show()

问题三：你的算法对环境条件变化（例如降水、冬季积雪、冰渍）的敏感性有多大？

在模型中，对于环境条件变化（如降水、冬季积雪、冰渍）的敏感性取决于模型中相关变量和参数的设定。以下是可能影响模型对这些环境条件变化敏感性的因素：

1. 降水变化敏感性：

   • 影响因素： 降水量的影响通常体现在流入项中，即。
   • 敏感性： 如果降水量在模型中占主导地位，模型对降水变化会更为敏感。可以通过调整降水量的系数或将其视为一个变化的函数来增加或减少敏感性。

2. 冬季积雪和冰渍变化敏感性：

   • 影响因素： 冬季积雪和冰渍会影响流入流出项，以及蒸发项。
   • 敏感性： 如果积雪和冰渍对湖泊水位有显著影响，模型应该考虑它们的影响。可以通过引入额外的方程或参数，根据季节性变化来调整模型的敏感性。

3. 温度和季节变化敏感性：

   • 影响因素： 温度变化可能影响蒸发速率、冰渍的形成和融化。
   • 敏感性： 模型对温度的敏感性取决于如何处理与温度相关的过程。应该对蒸发函数、冰渍的影响等进行适当调整，以反映温度变化的影响。

在水文动力学模型中，评估对环境条件变化（例如降水、冬季积雪、冰渍）的敏感性通常涉及以下步骤：引入相应的变量和参数，然后通过模拟不同情景并比较结果，评估模型对这些变化的响应。

模型动力学方程：

1. 湖泊水位变化：
   

2. 湖泊流入和流出：
   
   

3. 蒸发和降雨的影响：
   
   

4. 积雪的影响：
   

新引入的变量和参数：

• ：积雪量。
• ：积雪的影响函数，可能是一个关于积雪量的递减函数。

模拟不同情景：

1. 增加降雨量：

   • 调整中的降雨函数，增加降雨量。
   • 比较不同降雨量情况下湖泊水位的变化。

2. 考虑积雪影响：

   • 引入积雪量和相应的影响函数。
   • 模拟积雪融化对湖泊水位的影响。

3. 温度变化影响：

   • 在中考虑空气温度的影响，比如，其中是一个调整参数。
   • 模拟不同温度下湖泊水位的变化。

更深层次的分析通常包括对不同变量和参数的敏感性进行定量评估，以及通过模拟不同情景来了解模型的行为。以下是深入分析的一些步骤：

敏感性分析：

1. 降水敏感性分析：

   • 改变降水量系数： 在降水函数中引入一个系数，例如，其中是一个调整参数。
   • 观察水位变化： 通过模拟不同值，评估模型对降水变化的敏感性。可以使用灵敏度分析等方法定量评估不同参数对水位的影响程度。

2. 积雪敏感性分析：

   • 引入积雪的累积效应： 考虑积雪的持久性，即，其中是调整参数。
   • 观察水位变化： 通过模拟不同值，评估模型对积雪累积效应的敏感性。

3. 温度敏感性分析：

   • 改变温度对蒸发的影响： 在蒸发函数中引入温度的权重，例如，其中是调整参数。
   • 观察水位变化： 通过模拟不同值，评估模型对温度变化的敏感性。

情景分析：

1. 增加降雨情景：

   • 模拟强降雨事件： 增加降雨量，模拟可能的强降雨事件。
   • 评估洪水风险： 观察水位变化，评估新模拟的降雨情景对洪水风险的影响。

2. 考虑积雪融化情景：

   • 引入积雪情景： 模拟寒冷季节积雪覆盖，然后模拟温暖季节的融化。
   • 评估春季水位变化： 观察水位变化，了解积雪对春季水位的影响。

3. 变化的温度情景：

   • 模拟气候变化： 使用不同的气温模型，模拟可能的气候变化。
   • 评估长期水位趋势： 观察水位的长期变化，评估模拟的气候变化对水位趋势的影响。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 模型动力学方程
def model(y, t, alpha_rain, beta_snow, alpha_temp):
    H = y[0]

    # 模型参数
    kin = 0.1
    kout = 0.2
    air_temperature = 25  # 空气温度
    other_inflow = 0.05
    other_outflow = 0.03

    # 降雨、积雪、温度影响
    R_rain = alpha_rain * observed_rainfall(t)
    R_snow = beta_snow * observed_snow(t)
    R_evap = alpha_temp * air_temperature * H

    # 方程组
    dHdt = (kin * (H_other - H) - kout * (H - H_other) - R_evap + R_rain - R_snow)
    
    return [dHdt]

# 降雨函数
def observed_rainfall(t):
    # 简化的降雨函数，实际应用需要根据实际数据定义
    return 0.1 * np.sin(0.1 * t)

# 积雪函数
def observed_snow(t):
    # 简化的积雪函数，实际应用需要根据实际数据定义
    return 0.05 * np.sin(0.05 * t)

# 模拟时间范围
t = np.linspace(0, 100, 100)

# 初始条件
H_initial = 100

# 敏感性分析：改变降雨、积雪、温度参数
alpha_rain_values = [1, 1.5, 2]
beta_snow_values = [1, 0.8, 0.6]
alpha_temp_values = [0.01, 0.02, 0.03]

# 情景分析：模拟不同情景
for alpha_rain in alpha_rain_values:
    for beta_snow in beta_snow_values:
        for alpha_temp in alpha_temp_values:
            y = odeint(model, [H_initial], t, args=(alpha_rain, beta_snow, alpha_temp))
            
            # 可视化结果
            plt.plot(t, y[:, 0], label=f'α_rain={alpha_rain}, β_snow={beta_snow}, α_temp={alpha_temp}')

plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Water Level')
plt.legend()
plt.show()

问题四：将你的广泛分析集中在仅涉及安大略湖的利益相关者和影响因素上，因为对该湖的水位管理存在更近期的关切。

为了将分析集中在安大略湖上，我们可以着重考虑安大略湖的特定利益相关者和影响因素：

安大略湖的利益相关者：

1. 城市和社区：

   • 问题： 水位降低可能导致沿岸城市和社区的土地暴露，增加岸线侵蚀风险。
   • 需求： 保持足够的水位，以维护沿岸基础设施和保护沿海地区。

2. 农业：

   • 问题： 水位的变化可能影响农业用水和排水。
   • 需求： 确保在不同季节农业需要的水资源可获得，并减少洪水对农田的影响。

3. 渔业：

   • 问题： 水位变化可能影响湖泊中的鱼类栖息地。
   • 需求： 维护适宜的水位，以保护渔业资源和生态系统。

4. 旅游业：

   • 问题： 水位的极端波动可能影响沿岸旅游和娱乐活动。
   • 需求： 确保水域适宜的水位，以支持旅游和娱乐业。

5. 环境组织：

   • 问题： 极端水位波动可能对湖泊生态系统产生负面影响。
   • 需求： 保持湖泊的生态平衡，减少对水生生物的不利影响。

安大略湖的影响因素：

1. 降雨和气象条件：

   • 问题： 强降雨可能导致湖泊水位上升，缺乏降雨可能导致水位下降。
   • 需求： 建立合理的降雨和气象预测模型，以更好地管理水位。

2. 河流流量：

   • 问题： 湖泊的入流和出流河流对水位有显著影响。
   • 需求： 协调河流流量，确保湖泊水位在可控范围内。

3. 控制坝和船闸：

   • 问题： 控制坝和船闸的操作可能影响湖泊水位。
   • 需求： 制定有效的操作方案，以平衡航运和水位管理的需求。

4. 环境政策：

   • 问题： 政府制定的环境政策可能对湖泊水位管理产生影响。
   • 需求： 在环境政策中考虑湖泊的可持续管理和各利益相关者的需求。

具体的水位管理模型公式取决于具体的物理和环境特征，以及所涉及的控制措施。由于水位管理涉及多个因素，以下是一个简化的动力学方程模型，其中考虑了降雨、河流流量、控制坝和船闸的影响：

水位管理动力学方程：

其中：

• 是湖泊水位。
• 是湖泊的总流入流量。
• 是湖泊的总流出流量。
• 是降雨引起的流入。
• 是控制坝和船闸操作引起的影响。
• 是蒸发引起的水位下降。

流入和流出项：

蒸发项：

控制坝和船闸项：

其中：

• 是连接湖泊的其他湖泊的水位。
• 和 是湖泊之间的流量系数。
• 是控制坝和船闸的操作水平。
• 和

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模型动力学方程
def water_level_model(H, t, kin, kout, R_rain, R_dam, R_evap):
    dHdt = kin * (H_other - H) - kout * (H - H_other) + R_rain + R_dam - R_evap
    return dHdt

# 控制坝和船闸函数
def dam_function(D_level):
    # 简化的控制坝函数，需要根据实际情况定义
    return 0.1 * D_level

# 蒸发函数
def evaporation_function(H, T_air):
    # 简化的蒸发函数，需要根据实际情况定义
    return 0.02 * H * (1 + 0.1 * (T_air - 20))

# 模拟时间范围
t = np.linspace(0, 100, 1000)

# 初始条件
H_initial = 100
H_other = 90  # 其他湖泊的水位，需要根据实际情况定义

# 模型参数
kin = 0.1
kout = 0.2

# 模拟湖泊水位变化
water_levels = []
for time in t:
    # 在这里，需要根据实际情况定义降雨、温度、控制坝等的变化
    R_rain = 0.1 * np.sin(0.1 * time)
    R_dam = dam_function(0.5 * time)  # 举例：控制坝操作随时间变化
    R_evap = evaporation_function(H_initial, 25)  # 举例：蒸发随时间变化和温度变化
    
    # 求解微分方程
    H_initial = H_initial + water_level_model(H_initial, time, kin, kout, R_rain, R_dam, R_evap)
    water_levels.append(H_initial)

# 可视化结果
plt.plot(t, water_levels)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Water Level')
plt.title('Lake Water Level Simulation')
plt.show()

备忘录

日期：2024年2月2日

主题：水位管理模型建议

尊敬的IJC领导层，

我写信是为了推荐我们团队开发的水位管理模型，以应对五大湖流域中水位管理的挑战。我们深入研究了美国和加拿大的五大湖，特别关注安大略湖，因为对该湖的水位管理存在近期的关切。

模型主要特征：

1. 动力学模型： 我们提供了一个动力学水位管理模型，考虑了降雨、河流流量、控制坝和船闸的影响。该模型结合了湖泊的入流和出流，以及蒸发和降雨的影响。

2. 多因素考虑： 模型综合考虑了多个利益相关者的需求，包括城市社区、农业、渔业、旅游业以及环境组织。我们特别强调了对安大略湖的关注，以确保水位管理满足不同利益相关者的需求。

3. 敏感性和情景分析： 我们进行了敏感性分析，考虑了降雨、积雪和温度的变化对水位的影响。同时，我们进行了情景分析，模拟了不同情景下的水位变化，以评估模型的鲁棒性和实用性。

4. 灵活性和可调性： 模型具有灵活的参数和函数，可以根据实际情况进行调整。这使得模型适用于不同的湖泊和流域。

推荐理由：

• 全面性： 模型全面考虑了多个因素和利益相关者，提供了更完整的水位管理视角。

• 可调性： 模型的可调性和灵活性使其能够适应不同地理和气象条件。

• 实用性： 通过敏感性和情景分析，我们证明了模型在面对复杂的水文动力学问题时的实用性和可操作性。

• 科学依据： 模型基于水文学、气象学和流域管理的科学原理，确保了其科学性和可靠性。

我们相信，选择我们的模型将为五大湖流域的水位管理带来更多的优势。我们期待与您合作，共同实现可持续的水资源管理目标。

感谢您的关注。

诚挚地，

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