数据结构界的终极幻神—-树

目录

一.数的概念和分类

树（tree）是包含 n(n≥0) [2] 个节点，当 n=0 时，称为空树，非空树中

条边的有穷集，在非空树中：

（1）每个元素称为节点（node）。

（2）有一个特定的节点被称为根节点或树根（root）。

（3）除根节点之外的其余数据元素被分为个互不相交的集合，其中每一个集合本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。

树也可以这样定义：树是由根节点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的节点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的节点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个节点具有特殊的地位，这个节点称为该树的根节点，或称为树根。

树中的节点具有明显的层级关系，并且一个节点可以对应多个节点。 我们可以形式地给出树的递归定义如下:

单个节点是一棵树，树根就是该节点本身。

设

是树，它们的根节点分别为

。用一个新节点

作为

的父亲，则得到一棵新树，节点n就是新树的根。我们称

为一组兄弟节点，它们都是节点

的子节点。我们还称

为节点n的子树。

空集合也是树，称为空树。空树中没有节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

节点的度：一个节点含有的子节点的个数称为该节点的度；

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；

森林：由

棵互不相交的树的集合称为森林。

种类

无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树；

有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

满二叉树：叶节点除外的所有节点均含有两个子树的树被称为满二叉树；

完全二叉树：除最后一层外，所有层都是满节点，且最后一层缺右边连续节点的二叉树称为完全二叉树；

二叉搜索树:满足左子节点比父节点小,右子节点比父节点大

哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树。

二.重点概念

哈希树:

其实在数据结构中哈希树的概念并不怎么被认可,不过在区块链中确实有这种概念

哈希树，也称为默克尔树(Merkle Tree)，是一种树形数据结构，用于在计算机科学中高效地验证和组织数据。哈希树特别适用于需要快速查找和验证大量数据的情况，如在区块链技术中。

哈希树的每个节点都包含数据的哈希值，这使得它可以用于数据完整性的验证。树的根节点包含整个数据结构的哈希值，即默克尔根(Merkle Root)。如果数据结构中的任何部分发生更改，会导致默克尔根变化，从而能够检测到这些更改。

哈希树在密码学和安全领域有着广泛的应用，特别是在数字签名和加密货币（如比特币）中，它用于确保交易记录的安全性和不可篡改性。

二叉树的线索化

什么是线索化

线索化的步骤：

根据某种遍历序列（前、中后序遍历），先确定下来每个节点的前驱和后继。
对于每个节点来说，他的左右指针可能没有指向节点（值为NULL），这时候我们可以运用这些“空闲”的指针。比如：左指针如果有空闲，就用这个指针指向这个节点对应遍历序列的前驱，右指针如果有空闲，就用这个指针指向这个节点对应遍历序列的后继。（注意：遍历序列中一头一尾是没有前驱或者后继的，所以如果指针有空闲，我们还是当它指向的是孩子，而不是前驱或者后继）
对于每个节点都实现了步骤2后，线索化完成

为什么要线索化

我们来线索化主要有两个原因

从空间上来说
对于一颗有n个节点二叉树，每个节点都有两个指针，这一棵树的所有节点总共有2n个指针。对于除了根节点以外的节点，每个节点都对应着一个指向其的指针，有且仅有这些指针是非空的，共有（n-1）个指针，那么空值指针就有n+1个，这个数量是很大的，对于空间的浪费也比较多
从遍历实现上
在我们用二叉树的递归遍历时，会遇到两个问题，一是：遍历需要的时间较多；二是：递归时候不断创建函数副本，对于内存来说也有一定压力。如果我们只用先进行一次递归遍历实现线索化，之后通过线索来遍历，能大大减少遍历时间和内存风险。
或者栈等数据结构来保持遍历的状态。而线索化后的二叉树可以通过线索（即额外的指针）直接找到前驱和后继节点，从而无需用额外的空间。这样可以提高遍历的效率和性能。
原文链接：https://blog.csdn.net/m0_74222411/article/details/132240822

我们常听到有的人说线索二叉树,但其实这种说法并不准确,准确来说应该是二叉树的线索化

特殊的查找树

但所有子节点都比父节点大时,就会破会树状结构,这是就引入了一些新的树形结构AVL树,红黑树

完全二叉树

通俗来讲就是,该结构的n-1层都被填满,最后一层可以不满,但从左至右不能有空位,必须按位置顺序排列,不能两个子节点中间空一个节点的位置

而满二叉树则是一种特殊的完全二叉树,堆则是完全二叉树

堆分为大堆和小堆

大堆即父节点的数据大于子节点,小堆反之

三.手撕完全二叉树(堆)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{
	HeapDataType* data;
	int size;
	int capacity;
}HP;
void initHP(HP* php)
{
	assert(php);
	php->data = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
void destroyHP(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->data);
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
}
void Swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{
	HeapDataType temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}
void adjustUP(HeapDataType* p, int size, HeapDataType data)
{
	int child = size;
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		if (p[parent] < p[child])
		{
			Swap(&p[parent], &p[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else break;
	}
}
void pushHP(HP* php, HeapDataType data)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->data, sizeof(HeapDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
			return;
		php->data = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->data[php->size] = data;
	php->size++;
	adjustUP(php->data, php->size - 1, data);
}
bool isEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
HeapDataType topHP(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!isEmpty(php));
	return php->data[0];
}
void adjustDown(HeapDataType* p, int size, HeapDataType data)
{
	int parent = 0;
	int child = parent * 2 + 1;
	if (p[child] < p[child + 1])
		child++;
	while (child <= size)
	{
		if (child + 1 <= size && p[parent] < p[child])
		{
			Swap(&p[parent], &p[child]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
			if (p[child] < p[child + 1])
				child++;
		}
		else break;
	}
}
void popHP(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!isEmpty(php));
	Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);
	php->size--;
	adjustDown(php->data, php->size, php->data[0]);
}

重点讲解

向上搜索算法

在我们插入新的数据到该结构时(这里以小堆为例),我们需要判断子节点是否会比父节点还小,如果是,则要将子节点与父节点进行交换,直到不是

向下搜索算法

与向上搜索算法同理,应用于删除第一个节点

首先将第一个数据和最后一个数据交换位置,然后让新的第一个数据向下(因为这个数据为父节点,有可能比下面的某个子节点小),这是我们有两个选择,与左节点交换还是右节点,答案是最小的那个,这样才能保证最后被换上来的父节点最小