【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（4，生产与储存问题）

系列文章

【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（1，多阶段决策过程与动态规划基本概念）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（2，动态规划的基本思想与模型求解）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（3，资源分配问题）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（4，生产与储存问题）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（5，设备更新问题）

文章目录

• 系列文章
• 引言
• 四、生产与储存问题
• • 4.1 生产计划问题
  • 4.2 不确定性的采购问题
• 写在最后

引言

在生产和经营管理中，经常遇到要合理安排生产（或购买）与库存的问题，达到既要满足社会的需要，又要尽量降低成本费用。因此，正确制定生产（或采购）策略，确定不同时期的生产量（或购买量）和库存量，以使得总生产成本费用和库存费用之和最小，这就是生产与储存问题的最优化目标。

四、生产与储存问题

4.1 生产计划问题

设某公司要对某种产品要制定一项 个阶段的生产（或购买）目标。已知它的初始库存量为 0 ，每阶段生产（或购买）该产品的数量有上限 的限制；每阶段社会对该产品的需求量 是已知的，公司保证供应；在 阶段末的终结库存量为 0 。问该公司如何制定每个阶段的生产（或采购）计划，从而使总成本最小。

用动态规划方法来求解，把它看作一个 阶段决策问题。令 为状态变量，表示第 阶段开始时的库存量； 为决策变量，表示第 阶段的生产量。状态转移方程为

第 阶段的成本费用包括生产成本和存储费用两项： ，其中 表示第 阶段生产产品 时的成本费用，一般包括生产准备成本 和产品成本 （其中 是单位产品成本）两项费用。有 为已知参数， 表示在第 阶段结束有库存量时所需的储存费用。其实第 阶段结束时库存量就等于下一阶段开始的库存量，即 。

最优值函数 表示从第 阶段初库存量为 到第 阶段库存量为 0 时的最小总费用，其基本方程为 其中， ，一方面每阶段生产上限为 ，另一方面需保证 阶段结束时库存量能取 0 。 ，这是为了保证第 阶段的生产量能满足市场需求。

4.2 不确定性的采购问题

在实际问题中，还会遇到某些多阶段决策过程，与前面所讨论的确定性不同，出现了随机性因素，状态转移不能完全确定，是按照某种已知的概率分布取值的。具有这种性质的多阶段决策过程称为随机性的决策过程。下面举一个例子。

（采购问题） 某厂生产上需要在近 5 周内采购一批原料，而估计在未来 5 周内价格会有波动，单价为 500 的概率为 0.3 ，为 600 的概率为 0.3 ，为700 的概率为 0.4 。试求在哪一周以什么价格购入，能使得其采购价格的数学期望最小？并求出期望值。

我感觉这类题目还可以改成求采购价格的最大可能、最小可能等等。

按采购期限，分为 5 个阶段，设

—— 状态变量，表示第 周的实际价格。

—— 决策变量，表示第 周是否决定采购，当取值为 1 时，表示第 周采购；取值为 0 时，表示第 周决定等待。

—— 第 周决定等待，而在以后采取最优决策时的采购价格平均值。

—— 第 周实际价格为 时，从第 周至第 5 周采取最优决策所得的最小期望值。

则逆序递推关系为 其中，

当第 周实际价格为 时，若选择等待，则 。如果 ，则第 周应选择等待，即 ；如果 ，则第 周应选择购入，即 ；

第一步： ，此时必须购入，则

第二步： ， ，则 可知，当第 4 周实际价格为 500 或 600 时，可以选择购入；当实际价格为 700 时，应等待。

第三、四、五步： 同理，可计算得到， 综上，最优采购策略为：前三周，价格为 500 就购入，否则等待；第 4 周时，如果还没购入，价格为 500 或 600 时就购入，否则等待；第 5 周时，如果还没购入，不管怎么样都应该购入。

按照上述策略进行采购时，采购价格的数学期望计算如下：

还好前几天复习了下概率论，要不这个数学期望还真不太好理解。

写在最后

对于确定型生产计划问题，其实和资源分配问题有点像，只是多加了一部分回收的费用；而对于不确定型采购问题，则有点难以理解，建模难度较高，不过求解方法和前面类似。