AcWing算法学习笔记：动态规划（背包 + 线性dp + 区间dp + 计数dp + 状态压缩dp + 树形dp + 记忆化搜索）

动态规划

• 一、背包问题
• • ① 01背包朴素版
  • ② 01背包优化版
  • ③ 完全背包朴素版
  • ④ 完全背包消k版
  • ⑤ 完全背包消k优化版
  • ⑥ 多重背包朴素版
  • ⑦多重背包二进制优化版
  • ⑧ 分组背包朴素版
  • ⑨ 分组背包优化版
• 二、线性dp
• • ① 数字三角形
  • ② 最长上升子序列
  • ③ 最长上升子序列打印序列版
  • ④ 最长上升子序列0(nlogn)
  • ⑤ 最长公共子序列
  • ⑥ 最短编辑距离
• 三、区间dp（石子合并）
• 四、计数类dp（整数划分）
• 五、数位统计dp（计数问题）还没写
• 六、状态压缩dp
• • ①蒙德里安的梦想
  • ②最短哈密顿路径
• 七、树形dp（没有上司的舞会）
• 八、记忆化搜索（滑雪）

一、背包问题

① 01背包朴素版

算法

复杂度
时间复杂度0(nm)
空间复杂度0(nv)

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) //i == 0时，一件物品都不选，f都为0
    {
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; //不包含第i个物品
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); //包含第i个物品
        }
    }
    cout << f[n][m]; //前n个物品中选择体积不超过m的最大价值
    return 0;
}

② 01背包优化版

算法
通过滚动数组对01背包朴素版进行空间上的优化
f[i] 与 f[i – 1]轮流交替
若体积从小到大进行遍历，当更新f[i, j]时，f[i – 1, j – vi] 已经在更新f[i, j – vi]时被更新了
因此体积需要从大到小进行遍历，当更新f[i, j]时，f[i – 1, j – vi] 还未被更新

复杂度
时间复杂度0(nm)
空间复杂度0(m)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) //i == 0时，一件物品都不选，f都为0
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
        {
             f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); //包含第i个物品
        }
    }
    cout << f[m]; //前n个物品中选择体积不超过m的最大价值
    return 0;
}

③ 完全背包朴素版

算法

复杂度
时间复杂度：0(nm^2)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

④ 完全背包消k版

算法
f[i,j] = max(f[i-1, j], f[i-1, j-v]+w, f[i-1, j-2v]+2w…f[i-1, j-kv]+kw)
f[i, j-v] = max(   f[i-1, j-v ],  f[i-1, j-2v]+w … f[i-1, j-kv]+(k-1)w)
将f[i,j]优化成f[i,j] = max(f[i-1, j], f[i, j-v])
复杂度
由于不需要枚举选取物品i的数量
因此减少一轮迭代
0(nm)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; //不选第i件物品
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); //选第i件物品
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

⑤ 完全背包消k优化版

算法
类比与01背包的滚动数组优化
将f[i]与f[i – 1]轮流交替使用数组进行存储
由于不存在01背包中的更新覆盖的情况
因此体积从小到大枚举即可
复杂度
空间复杂度0(NM) -> 0(M)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

⑥ 多重背包朴素版

算法

复杂度
时间复杂度：0(nm^2)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]); //相当于就是有个数限制的完全背包问题
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

⑦多重背包二进制优化版

算法
每个物品可选[0, s]个，朴素版需要从0到s进行枚举
使用二进制进行优化

将si种选法分解成logs种选法，将所有选法重新存储起来
采用01背包的做法即可得到最优解
复杂度
时间复杂度0(nm)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 22000, M = 2020;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) //划分为二进制组
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        
        int k = 1;
        while (k <= c)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            c -= k;
            k *= 2;
        }
        if (c > 0)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = c * a;
            w[cnt] = c * b;
        }
    }
    n = cnt;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) //01背包
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

⑧ 分组背包朴素版

算法

枚举每一个分组内的物品，进行01背包的选法策略

复杂度
时间复杂度0(nms)
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            for (int k = 0; k <= s[i]; k ++) //k从0开始，包含不选该分组的f(i - 1, j)
            {
                if (j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][ j - v[i][k]] + w[i][k]); //01背包
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

⑨ 分组背包优化版

算法
采用01背包的滚动数组优化法

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = m; j >= 0; j --)
        {
            for (int k = 0; k <= s[i]; k ++) //k从0开始，包含不选该分组的f(i - 1, j)
            {
                if (j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]); //01背包
            }
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

二、线性dp

① 数字三角形

算法

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;

int n;
int f[N][N];
int a[N][N];


int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= n; j ++)
        {
            f[i][j] = -INF; //将状态全部初始化为最小值
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            cin >> a[i][j]; //输入三角形
        }
    }
    
    f[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + a[i][j];
        }
    }
    
    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[n][i]);
    cout << res;
    return 0;
}

② 最长上升子序列

算法

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j ++)
        {
            if (a[j] < a[i]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);
    cout << res;
    return 0;
}

③ 最长上升子序列打印序列版

算法
更新状态时，记录每一位子串是由哪一位结尾的子串转移而来的
再根据最大字串的末尾下标，倒序输出字串下标

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N];
int f[N];
int g[N];//保存以该位结尾的序列是由哪一位结尾的序列转移而来的

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j ++)
        {
            if (a[j] < a[i])
            {
                if (f[j] + 1 > f[i]) //更新f[i]是由f[j]转移过来的，并记录
                {
                    f[i] = f[j] + 1;
                    g[i] = j;
                }
            }
        }
    }
    int k = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if (f[i] > f[k])
        {
            k = i;
        }
    }
    cout << f[k] << endl;
    
    stack <int> s;
    for (int i = f[k]; i >= 1; i --)
    {
        s.push(k); //放入堆栈，可逆序输出
        k = g[k];
    }
    while (!s.empty())
    {
        cout << a[s.top()] << " ";
        s.pop();
    }
    return 0;
}

④ 最长上升子序列0(nlogn)

算法
最长上升子序列的最后一位数，一定会随着长度的增长而严格单调增大
因此保存每一个长度的子序列的最小末位数
并枚举每一个数字，若以该数字结尾的序列，其倒数第二个数字应该是小于该数字的最大的数
因此在数组中二分倒数第二个数的位置
并更新数组
代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];
int q[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    
    int len = 0;
    q[0] = -2e9;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int l = 0, r = len;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        len = max(len, r + 1);
        q[r + 1] = a[i];
    }
    cout << len;
    return 0;
}

⑤ 最长公共子序列

算法

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1); //写入a[0], b[0],数组名本身就是地址，不需要&
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1); //最长子序列包含a[i]/b[j]
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

⑥ 最短编辑距离

算法

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, a + 1);
    scanf("%d%s", &m, b + 1);
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = i;
    for (int i = 0; i <= m; i ++) f[0][i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i- 1][j - 1] + (a[i] != b[j]));
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

三、区间dp（石子合并）

算法

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 310, INF = 1e8;

int f[N][N];
int s[N];
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = a[i] + s[i - 1];
    }
    
    for (int len = 2; len <= n; len ++) //当len为1时，不需要合并
    {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) //遍历左边界，左边界 + 长度不能越界
        {
            int j = i + len - 1;
            f[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; k ++) //遍历分界点，k属于[i,j - 1]
            {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }
    cout << f[1][n];
    return 0;
}

四、计数类dp（整数划分）

• 完全背包解法
  

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
long long res;
long long f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i<= n; i ++) f[i][0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            for (int k = 0; j >= k * i; k ++)
            {
                f[i][j] += f[i - 1][j - k * i] % mod;
            }
        }
    }
    cout << f[n][n];
    return 0;
}

• 计数dp解法
  

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
const long long mod = 1e9 + 7;

int n;
long long f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[0][0] = 1; //使得总和恰好为0,选择0个数的方案只有一种
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
        }
    }
    
    long long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) res = (f[n][i] + res) % mod;
    cout << res;
    return 0;
}

五、数位统计dp（计数问题）还没写

六、状态压缩dp

①蒙德里安的梦想

算法

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << N;
int n, m;
long long f[N][M];
bool st[M];

int main()
{
    while (cin >> n >> m, n || m)
    {
        //初始化状态数组
        memset(f, 0, sizeof(f)); 
        
        //初始化判断是否有连续个奇数0的数组
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        {
            int cnt = 0;
            st[i] = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++)
            {
                if ((i >> j) & 1)
                {
                    if (cnt & 1) st[i] = false;
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++;
            }
            if (cnt & 1) st[i] = false;
        }
        
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i ++)
        {
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++)
            {
                for (int k = 0; k < 1 << n; k ++)
                {
                    if (((j & k) == 0) && st[j | k]) f[i][j] += f[i - 1][k];
                }
            }
        }
        cout << f[m][0] << endl;
    }
    
    return 0;
}

②最短哈密顿路径

算法

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20, M = 1 << N;
int f[M][N];
int w[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j ++)
        {
            cin >> w[i][j];
        }
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1][0] = 0;
    
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j ++)
        {
            if ((i >> j) & 1)
            {
                for (int k = 0; k < n; k ++)
                {
                    if (((i - (1 << j)) >> k) & 1)
                    {
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1];
    return 0;
}

七、树形dp（没有上司的舞会）

算法

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 6010;
int f[N][2];
int happy[N];
bool has_father[N];
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int n;

void add(int a, int b) //将子节点a加入到父节点b后
{
    e[idx] = a;
    ne[idx] = h[b];
    h[b] = idx ++;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][1] = happy[u];
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        
        f[u][1] += f[j][0]; //包含u，则必不包含u的子节点
        f[u][0] += max(f[j][0], f[j][1]); //不包含u，可以考虑包含u的子节点
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> happy[i];
    
    memset(h, -1, sizeof(h));
    
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        has_father[a] = true;
        add(a, b);
    }
    
    int root = 1;
    while (has_father[root]) root ++;
    
    dfs(root);
    
    cout << max(f[root][0], f[root][1]);
    return 0;
}

八、记忆化搜索（滑雪）

算法

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 310;
int d[N][N];
int f[N][N];
int n, m;

int dx[4] = {-1, 1, 0, 0};
int dy[4] = {0, 0, -1, 1};

int dp(int x, int y)
{
    if (f[x][y] != -1) return f[x][y];
    
    f[x][y] = 1;
    for (int i = 0; i < 4; i ++)
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && d[a][b] < d[x][y])
            f[x][y] = max(f[x][y], dp(a, b) + 1);
    }
    return f[x][y];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++)
        {
            cin >> d[i][j];
        }
    }
    
    int res = 0;
    
    memset(f, -1, sizeof(f));
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++)
        {
            res = max(res, dp(i, j));
        }
    }
    cout << res;
    return 0;
}