0. 简介
矩阵消元
1. 消元过程
实例方程组
矩阵化
消元
回代
求解
结果
2. 消元矩阵
将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。
向量式思考
矩阵乘列向量
行向量乘矩阵
一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值
而做行的加减则可以
实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。
我们令最后的上三角矩阵为
两个变换矩阵为
则
而矩阵乘法满足结合律证明即
所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程
这一过程。
3. 置换矩阵
在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？
我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。
如何交换两行呢，将单位矩阵变形
推广到多行
- 行变换
交换第一行和第三行
交换第一行和第二行
所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行的位置进行交换。
- 列变换
在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列
交换多列也是一样的效果
交换第第
列
所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。
4. 矩阵的逆
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