有关图像处理的课程作业需要学习一篇论文，此论文中作者使用了VQ-VAE模型对舞蹈动作进行编码。因此，对相关知识略作整理以供之后查找。

AE、VAE和VQ-VAE可以统一为latent code的概率分布设计不一样，AEr通过网络学习得到任意概率分布，VAE设计为正态分布，VQVAE设计为codebook的离散分布。总之，AutoEncoder的重构思想就是用低纬度的latent code分布来表达高纬度的数据分布，VAE和VQVAE的重构思想是通过设计latent code的分布形式，进而控制图片生成的过程。

三、VAE(Variational Auto-Encoding)-变分自动编码器

四、VQ-VAE 量子化（离散化）的自编码器

4.1 向量化VQ

1.PixelCNN

2.离散隐变量空间编辑-embedding空间

3.量化encoder的输出编辑-标准化输出

4.计算后验分布编辑和先验分布编辑的 KL散度

5.straight-through estimator

6.encoder误差

一、图片重构

自编码器的常规思路：通过神经网络架构重新构建图片，可以将图片编码成一个一个不同的属性，然后通过综合这些属性解码得到重构图片。

当对图像属性进行编码时，可以将其描述为离散值或概率分布的形式（从概率分布种随机采样出离散的值）。

图片与上述思路参考自链接【1】，侵删

二、AE(Auto-Encoding)-自动编码器

AE：将高维的原始数据映射到一个低维特征空间，然后从低维特征学习重建原始的数据。它是一种无监督学习方式。

一个AE模型包含两部分网络：

Encoder：将原始的高维数据映射到低维特征空间，即对输入图片进行编码得到latent code，起到压缩或降维的目的。
Decoder：通过Decoder重建原始数据，计算输入图片和生成图片的重构误差，训练的时候最小化重构误差。

AE是通过网络学习出任意的概率分布，然后取概率分布中最高点的横坐标作为编码的离散值。因此AE的生成过程不可控。因为学习得到的概率分布是不可提前预知的，所以AE对输入的噪声敏感。

三、VAE(Variational Auto-Encoding)-变分自动编码器

VAE：基于变分推断（Variational Inference, Variational Bayesian methods）的概率模型，属于无监督模型。

VAE通过Encoder学习出mean和std两个编码，同时随机采样一个正态分布的编码 $\varepsilon$ ，然后通过 $\varepsilon$ * std + mean公式重采样得到latent code，然后通过Decoder进行重建。

此外，由于正态分布的连续性，不存在不可导问题，可以通过重参数方法，对latent code进行恢复，并且通过链式求导法则进行梯度更新。

VAE的整个训练流程如上所示：输入x，encoder首先计算出后验分布的均值和标准差，然后通过重采样方法采样得到隐变量z，然后送入decoder得到重建的数据x′。

训练完成后，我们就得到生成模型 $p_{\theta }\left ( x|z \right )p_{\theta }\left ( z \right )$ ，其中 $p_{\theta }\left ( x|z \right )$ 就是decoder网络，而先验 $p_{\theta }\left ( z \right )$

VAE可以理解为通过网络学习出每个属性正态分布的mean和std编码，然后通过mean和std和N ( 0,1 )正态分布恢复每个属性的正态分布，最后随机采样得到每个属性的离散值。

VAE相对于AutoEncoder的好处是，当采样输入不同时，VAE对于任意采样都能重构出鲁棒的图片。VAE的生成过程是可控的，对输入噪声不敏感，我们可以预先知道每个属性都是服从正态分布的。

四、VQ-VAE 量子化（离散化）的自编码器

一个VAE模型包括三个部分：后验分布（Posterior） $q\left ( z|x \right )$ ，先验分布（Prior） $p\left ( z \right )$ ，以及似然（Likelihood） $p\left ( x|z \right )$ 。其中后验分布用encoder网络来学习，似然用decoder网络来学习，而先验分布采用参数固定的标准正态分布。在VAE学习过程中，后验分布往往假定是一个对角方差的多元正态分布，而隐变量 z 是一个连续的随机变量。

VQ-VAE与VAE的最主要的区别是VQ-VAE采用离散隐变量。对于encoder的输出通过向量量化（vector quantisation，VQ）的方法来离散化。论文提到了采用离散隐形变量编码的三个原因：

许多重要的事物都是离散的，如语言；
更容易对先验建模，VQ-VAE采用PixelCNN来学习先验，离散编码只需要简单地采用softmax多分类；
连续的表征往往被encoder/decoder内在地离散化；

VQ-VAE通过Encoder学习出中间编码，然后通过最邻近搜索将中间编码映射为codebook中K个向量之一，然后通过Decoder对latent code进行重建。

另外由于最邻近搜索使用argmax来找codebook中的索引位置，导致不可导问题，VQVAE通过stop gradient操作来避免最邻近搜索的不可导问题，也就是通过stop gradient操作，将decoder输入的梯度复制到encoder的输出上。

VQVAE相比于VAE最大的不同是，直接找每个属性的离散值，通过类似于查表的方式，计算codebook和中间编码的最近邻作为latent code。由于维护了一个codebook，编码范围更加可控，VQVAE相对于VAE，可以生成更大更高清的图片(这也为后续DALLE和VQGAN的出现做了铺垫)。

4.1 向量化VQ

1.PixelCNN

VQ-VAE做生成模型的思路，源于PixelRNN、PixelCNN之类的自回归模型。自回归的方法很稳妥，也能有效地做概率估计，但它有一个最致命的缺点：慢。原始的自回归还有一个问题，就是割裂了类别之间的联系。虽然说因为每个像素是离散的，所以看成256分类问题也无妨，但事实上连续像素之间的差别是很小的，纯粹的分类问题捕捉到这种联系。更数学化地说，就是我们的目标函数交叉熵是 $-logp_{t}$ ，假如目标像素是100，如果我预测成99，因为类别不同了，那么 $p_{t}$ 就接近于0， $-logp_{t}$ 就很大，从而带来一个很大的损失。但从视觉上来看，像素值是100还是99差别不大，不应该有这么大的损失。

除了训练好 VQ-VAE ，还需要训练一个先验模型来完成数据生成，对于图像来说，可以采用 PixelCNN 模型，这里我们不再是学习生成原始的 pixels，而是学习生成离散编码。首先，我们需要用已经训练好的 VQ-VAE 模型对训练图像推理，得到每张图像对应的离散编码；然后用一个PixelCNN来对离散编码进行建模，最后的预测层采用基于softmax的多分类，类别数为embedding空间的大小 K。那么，生成图像的过程就比较简单了，首先用训练好的 PixelCNN 模型来采样一个离散编码样本，然后送入 VQ-VAE 的 decoder中，得到生成的图像。整个过程如下图所示：

2.离散隐变量空间 $e \epsilon R^{K\times D}$ -embedding空间

K 为 embedding 空间大小（向量个数），D 为每个 embedding 向量 $e^{i}$ 的维度。因此，embedding空间 总共有 K 个 embedding向量 $e_{i}\epsilon R^{D}$ , $i\epsilon 1,2,...,K$ 。采用 最近邻的查找方法 来将encoder的输出 $z_{e}\left ( x \right )$ 量化为其中的一个embedding向量。

3.量化encoder的输出 $z_{e}\left ( x \right )$ -标准化输出

最近邻的查找方法 的实质为计算输出 $z_{e}\left ( x \right )$ 和每个embedding向量 $e_{i}$ 的欧氏距离，选择距离最小的向量 $e_{i}$ 作为 量化值 $z_{q}\left ( x \right )$ 。 $z_{q}\left ( x \right )$ 将作为 decoder 的输入。因此，VQ-VAE 的整个过程可以表示为：

$x \rightarrow z_{e}(x)=\operatorname{Encoder}(x) \rightarrow z_{q}(x)=\operatorname{Quantize}\left(z_{e}(x)\right) \rightarrow x^{\prime}=\operatorname{Decoder}\left(z_{q}(x)\right)$

4.计算后验分布 $q\left ( z|x \right )$ 和先验分布 $p\left ( z\right )$ 的 KL散度

VAE 的后验分布 $q\left ( z|x \right )$ 为多元高斯分布，但 VQ-VAE 经过 VQ 之后，后验分布 $q\left ( z|x \right )$ 可以看作一个 多类分布（categorical distribution），其概率分布为 one-hot 型：

此时，VQ-VAE 的后验分布变成了一个确定的分布。k 的确定不涉及随机因素。若将先验分布 $p\left ( z\right )$ 定义为均匀的多类分布（每个类别的概率为 1/k），则可以直接计算后验分布和先验分布的 KL 散度/相对熵（Kullback-Leibler divergence：计算两个分布差异最常用的）：

计算得到，KL 散度为一个常数，那么 VQ-VAE 的训练损失就只剩下了一项重建误差 $logp\left ( x|z \right )$ 。可以观察到，VQ-VAE 的训练过程没有用到先验分布，所以后面需要单独训练一个先验模型来生成数据。

VQ-VAE分成两个阶段来得到生成模型 $p\left ( z \right )p\left ( x|z \right )$ ，可以避免 VAE 训练过程中容易出现的“posterior collapse”。

5.straight-through estimator

VQ-VAE还存在一个问题，那就是由于argmin操作不可导，所以重建误差的梯度就无法传导到encoder。论文采用straight-through estimator来解决这个问题。

梯度反向传播进行更新：

encoder的梯度更新：

Straight-Through的思想很简单，就是前向传播的时候可以用想要的变量（哪怕不可导），而反向传播的时候，用你自己为它所设计的梯度。根据这个思想，我们设计的目标函数是： $\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}$
其中 sg 是 stop gradien t的意思，就是不要它的梯度。这样一来，前向传播计算（求loss）的时候，就直接等价于 $decoder\left ( z+z _{q}-z \right )$ ，然后反向传播（求梯度）的时候，由于 $z _{q}-z$ 不提供梯度，所以它也等价于 $decoder\left ( z\right )$ ，这个就允许我们对 encoder 进行优化了。

VQ-VAE 的 decoder 的输入是 $z_{q}\left ( x \right )$ ，直接用重建误差相对于 $z_{q}\left ( x \right )$ 的梯度来作为encoder的输出 $z_{e}\left ( x \right )$ 的梯度，由于 $z_{q}\left ( x \right )$ 和 $z_{e}\left ( x \right )$ 的维度一样，所以这样做不需要任何特殊处理。

虽然通过straight-through estimator方法，重建误差的梯度可以传导到encoder，但是embedding向量 $e_{i}$ 就接收不到重建误差带的梯度了，这也意味着embedding空间无法参与学习。

embedding空间的更新：

        根据VQ-VAE的最邻近搜索的设计，我们应该期望 $z_{q}$ 和 $z$ 是很接近的。所以，为了让 $z_{q}$ 和 $z$ 更接近，我们可以直接地将 $\left \| z-z_{q} \right \|_{2}^{2}$ 加入到loss中：
$\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}+\beta \left \| z-z_{q} \right \|_{2}^{2}$
        由于编码表 $z_{q}$ 相对是比较自由的，而 $z$ 要尽力保证重构效果，所以我们应当尽量“让 $z_{q}$ 去靠近 $z$ ”，而因为 $\left \| z_{q} -z\right \|_{2}^{2}$ 的梯度等于对 $z_{q}$ 的梯度加上对 $z$ 的梯度，所以我们将它等价地分解为：
$\left \| sg\left [ z \right ] -z_{q}\right \|_{2}^{2}+\left \| z-sg\left [ z_{q} \right ] \right \|_{2}^{2}$
        根据我们刚才的讨论，我们希望“让 $z_{q}$ 去靠近 $z$ ”多于“让 $z$ 去靠近 $z_{q}$ ”，所以可以调一下最终的loss比例：
$\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}+\beta \left \| sg\left [ z \right ]-z_{q} \right \|_{2}^{2}+\gamma \left \| z-sg\left [ z_{q} \right ] \right \|_{2}^{2}$
        其中 $\gamma < \beta$ ，在原论文中使用的是 $\gamma = 2.5\beta$ 。

为了让embedding空间参与训练，论文采用了一种简单的字典学习方法，即计算encoder的输出 $z_{e}\left ( x \right )$ 和对应的量化得到的embedding向量 $e_{k}$ 的L2误差（VQ loss）：

此处的 sg 指的是stop gradient操作（即不计算输入的梯度），这意味着这个 L2 损失只会更新embedding空间，而不会传导到encoder。这里，我们也可以采用另外一种方式：指数移动平均（exponential moving averages，EMA）来更新embedding空间。假定 $\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,k}\right \}$ 为一系列和embedding向量 $e_{i}$ 对应的encoder的输出，此时L2损失为：

此时embedding向量 $e_{i}$ 的最优值有解析解，即对所有的元素求平均值： $e_{i}^{*}= \frac{1}{n_{i}}\sum_{j}^{n_{i}}z_{i,j}$ 。然而，训练过程中无法直接这样更新，因为训练是基于mini-batch的，并不是训练数据的全部。类比BatchNorm，我们可以采用EMA来更新embedding：

$N_{i}^{(t)} =\gamma N_{i}^{(t-1)}+(1-\gamma) n_{i}^{(t)} \quad \\m_{i}^{(t)} =\gamma m_{i}^{(t-1)}+(1-\gamma) \sum_{j=1}^{n_{i}^{(t)}} z_{i, j}^{(t)} \quad \\ e_{i}^{(t)}=m_{i}^{(t)}/ N_{i}^{(t)}$

这里共需要维护两套EMA参数，一是每个embedding向量 $e_{i}$ 的对应的 $\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}$ 元素数量 $N_{i}$ ，二是 $\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}$ 的求和值 $m_{i}$ 。每次forward时，我们根据当前mini-batch得到 $\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}$ ，然后执行EMA，而用 $m_{i}$ 除以 $N_{i}$ 即可得到当前的embedding向量。采用EMA这种更新方式往往比直接采用L2损失收敛速度更快，论文采用的decay值 $\lambda$ 为0.99。

6.encoder误差

除此之外，论文还额外增加一个训练loss：commitment loss，这个主要是约束encoder的输出和embedding空间保持一致，以避免encoder的输出变动较大（从一个embedding向量转向另外一个）。commitment loss也比较简单，直接计算encoder的输出 $z_{e}\left ( x \right )$ 和对应的量化得到的embedding向量 $e_{k}$ 的L2误差:

注意这里的sg是作用在embedding向量 $e_{k}$ 上，这意味着这个约束只会影响encoder。

综上，VQ-VAE共包含三个部分的训练loss：reconstruction loss，VQ loss，commitment loss。

其中reconstruction loss作用在encoder和decoder上，VQ loss用来更新embedding空间（也可用EMA方式），而commitment loss用来约束encoder，这里的 $\beta$ 为权重系数，论文默认设置为0.25。

另外，在实际实验中，一张图像会采用 N 个离散隐变量，这个和encoder得到的特征图大小有关。对于ImageNet数据集，采用 32×32 大小的中间特征图，所以 N=32×32；对于CIFAR10数据集，采用8×8大小的中间特征图，所以 N=8×8。对于一张图像，VQ loss和commitment loss取 N个离散编码的loss平均值。从自动编码器的角度来看，VQ-VAE实现了对图像的压缩，即将一张图像压缩成 N 个离散编码。这里要说明的一点是，VQ-VAE适用于多种模态的数据，除了图像之外，还可以用于语音和视频的生成，这里只讨论图像。

【1】漫谈VAE和VQVAE，从连续分布到离散分布 – 知乎 (zhihu.com)

【2】生成模型之VAE – 知乎 (zhihu.com)

【3】生成模型之VQ-VAE – 知乎 (zhihu.com)

【4】VQ-VAE的简明介绍：量子化自编码器 – 科学空间|Scientific Spaces (kexue.fm)

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生成模型之VAE与VQ-VAE

一、图片重构

二、AE(Auto-Encoding)-自动编码器

三、VAE(Variational Auto-Encoding)-变分自动编码器

四、VQ-VAE 量子化（离散化）的自编码器

4.1 向量化VQ

1.PixelCNN

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3.量化encoder的输出 -标准化输出

4.计算后验分布 和 先验分布 的 KL散度

5.straight-through estimator

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