稳健估计方法

众所周知，最小二乘法对于异常值非常敏感，所以在面对污染数据时常常需要稳健方法。Huber提出的M估计是最流行的稳健回归估计量之一。常用的稳健估计方法通常都是针对回归模型，或者说是基于最小二乘方法。对于回归模型

$y=x\beta+\epsilon$

最小二乘法得到的估计量为

$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}\sum_{i=1}^n(y_i-x_i\beta)^2$

本文介绍了几种基于回归模型的稳健估计方法。

1.Huber回归估计量为

$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}\sum_{i=1}^nl_\tau(e_i)$

其中 $e_i=y_i-x_i\beta$ ， $\tau$ 为预先给定的阈值。

$l(e_i)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}e_i^2 ,& |e_i|\leq\tau,\\ \tau|e_i|-\frac{1}{2}\tau^2,& |e_i|>\tau .\end{matrix}\right.$

由上式可以看出，在残差绝对值 $|e_i|$ 小于阈值 $\tau$

2.自适应HUber回归

Sun et al.(2020)在Adaptive Huber Regression中提出了自适应Huber回归方法。其大体做法和Huber回归相同，只是阈值 $\tau$ 的选择采用自适应的方法，通过适应样本量、维数和矩在偏差和稳健性之间权衡。该论文的理论框架处理任意(1 + δ)阶矩有界的重尾分布。

3.指数平方损失

Wang et al.(2013)在Robust Variable Selection With Exponential Squared Loss中提出了一类基于指数平方损失的惩罚鲁棒回归估计量。在给定的正则条件下，该论文的估计量是 $\sqrt{n}$ 一致的，并且具有oracle属性。重要的是，该论文证明了估计量可以达到1/2的最高渐近击穿点，并且它们的影响函数与响应或协变量域的异常值有关。其估计量如下

$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}\sum_{i=1}^n\exp\{-(y_i-x_i\beta)^2/\gamma_n\}-n\sum_{j=1}^pp_{\lambda_{nj}}(|\beta_j|)$

其中 $\gamma_n$ 是调整参数， $\lambda$ 是惩罚参数。

4.Tukey’s Biweight损失

Chang et al.(2018)在Robust Lasso Regression Using Tukey’s Biweight Criterion中提出了一种自适应lasso的扩展，称为tukey-lasso。通过使用Tukey的双权准则，而不是平方损失，Tukey-lsaao在响应和协变量中都能抵抗异常值。该论文证明了Tukey-lasso也享有oracle属性。其估计量如下

$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}2\sum_{i=1}^n\rho_d\left(\frac{y_i-x_i\beta}{\hat{\sigma}}\right )-n\sum_{j=1}^pp_{\lambda_{nj}}(|\beta_j|)$

其中 $\hat{\sigma}$ 为随机误差 $\epsilon$ 的标准差的稳健估计，

$\rho_d(u)=\left\{ \begin{matrix} \frac{d^2}{6}\{1-[1-(\frac{u}{d})^2]^3\},&|u|\leq d,\\ \frac{d^2}{6},&|u|>d. \end{matrix} \right.$

其中d是调整常数，类似于Huber损失中的阈值，可以控制稳健性水平。

5.修改的Huber函数

Jiang et al.(2019)在Robust Estimation Using Modified Huber’s Functions With New Tails中通过将Huber函数的尾部替换为指数平方损失来进行稳健估计。在回归框架中，证明了该论文的混合估计量是高效的，达到了50%的最高渐近击穿点。该论文还建立了正则条件下估计量的 $\sqrt{n}$ -一致性和渐近正态性。

$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}\sum_{i=1}^n\rho_{\tau,\lambda}\left(\frac{y_i-x_i\beta}{S_n}\right )$

其中 $S_n$ 是尺度参数，是基于残差 $r_i=y_i-x_i\tilde{\beta}_{\text{INI}}$ 的归一化中值绝对偏差(MAD)估计量,例如， $S_n=1.4826\times\text{median}_i(|r_i-\text{median}_j(r_j))|)$ ，

$\rho_{\tau,\lambda}(u)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}u^2,&|u|\leq \tau,\\ \frac{\lambda+\tau^2}{2}[1-\frac{\lambda}{\lambda+\tau^2}\exp (-(u^2-\tau^2)/\lambda)],&|u|>\tau. \end{matrix}\right.$

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