单位冲激函数与单位阶跃函数

扎眼的阳光 • 2023年11月29日下午5:25 • Python • 阅读 52

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本节主要介绍另外两个基本信号，在连续时间和离散时间情况下的单位阶跃和单位冲激函数，在信号与系统的分析中很重要。

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单位阶跃函数

值得注意的是单位阶跃在t=0这一点是不连续的。

单位冲激函数

狄拉克定义：

以及 $\int _{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt=1$

同理：

冲激函数的性质

对时间的积分等于单位阶跃函数

$u(t)=\int _{-\infty}^{t}\delta (t)dt=\int _{0}^{\infty}\delta (t-\sigma )d\sigma$

连续时间单位冲激可看作连续时间单位阶跃的一次微分

$\frac{du(t)}{dt}=\delta (t)$

筛分性质

$x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$

$x(t)\delta (t-t_{0})=x(t_{0})\delta (t-t_{0})$

以及

可以看看下面的三个例题：

尺度特性

$\delta (at)=\frac{1}{\left | a \right |}\delta (t)$

冲击偶的定义：单位冲击函数的导数

$\frac{d\delta (t)}{dt}=\delta '(t)=u_{1}(t)$

$\delta (t)$ 各阶导数

$\int _{-\infty}^{\infty}x(t)\delta ^{n}(t)dt=\left (-1 \right )^{n}x^{n}\left ( 0 \right )$

离散的阶跃信号与冲激信号

（1）阶跃信号，其定义为：

（2）冲激信号，其定义为：

冲激信号与阶跃信号的关系为：

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，相反，离散时间阶跃是单位样本的求和函数。

筛分性质：

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