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一、旅行商问题(Traveling Saleman Problem,TSP)
1.旅行商问题的定义
旅行商问题,是一个经典的组合优化问题,而且是著名NP问题之一。如下图所示
,可以想象,有A,B,C,D,E 五个地点,我们想找到一条路径,从地点A出发,经过剩余四个地点,然后回到地点A,从所有可能路径中找到距离最短的一条路径。本章借用了文献[*1]的图表。
2.旅行商问题求解的计算量
最简单的求解方式就是,如下图所示把所有的求解路径全部计算一遍,然后算出每条路径的长度,求出最短路径。
如下图所示,所有的枚举路径总共有24条,我们可以很快找到最短路径。
如果下面A~Z的情况,这个计算量,日本的第一超级计算机富岳,每秒的计算速度约为44.2京次(京是10的16次方,即万兆)。一年的秒数是3600×24×365=3153.6万秒。有兴趣的可以计算一下要算多少年。
二、TSP问题的建模
1.总体Hamilton量
该问题输入有两个,这里借用了文章[*2]的图表:
- 地点数目:
- 地点之间的距离:
约束条件:
- 每个时间步只能访问一个地点。
- 每个地点都访问过一次。
整体的Hamilton量如下:
2.约束条件
约束条件比较简单,先从约束条件解释,这里有2个约束可以解释如下:
- 每个时间步只能访问一个地点。
=> 上图矩阵里的每列元素之和必须为1。也就是每列中只有一个元素为1。 - 每个地点都访问过一次。
=> 上图矩阵里的每行元素之和必须为1。也就是每行中只有一个元素为1。
3.目标函数
解析:
-
:
这里的目标函数,最难理解的是。可以理解为【时间步访问地点,时间步访问地点时,=1;其他的情况,=0】。 -
:
该表达式代表了,【时间步访问地点,时间步访问地点时,地点和之间的距离之和】。所以,这个目标函数就代表了,从初始地点,经过所有地点后,回到初始地点的距离总和。
总结
旅行商问题,是比较有实际意义的应用问题,大家能体会到怎么把现实问题抽象出binary变量,然后怎么把制约条件表达出来。因为,上面的建模有两种编程实现方式,为了控制篇幅,下一篇献上Python代码。
在阅读参考文献时,经常会发现资料里的一些小错误,大家以后阅读资料时也要小心啊。
- 参考文献:
[*1] : https://www.nttdata.com/jp/ja/-/media/nttdatajapan/files/news/services_info/2021/012800/012800-01.pdf
[*2] : https://qiita.com/yufuji25/items/0425567b800443a679f7
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