前言

题目：Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks
会议：International Conference on Learning Representations, 2017
论文地址：Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks

阅读前建议读一下前面几篇关于GNN的入门文章：

图神经网络（GNN）的基本原理
图解GNN：A Gentle Introduction to Graph Neural Networks
TNNLS | GNN综述：A Comprehensive Survey on Graph Neural Networks

在TNNLS | GNN综述：A Comprehensive Survey on Graph Neural Networks一文中对GCN进行了大概的讲解，讲解如下：

RecGNN使用相同的图循环层(Grec)来更新节点的表示，而ConvGNN使用不同的图卷积层(Gconv)来更新节点表示。

ConvGNN分为两种：基于频域的和基于空间域的。其中基于频域的方法通过从图信号处理的角度引入过滤器（卷积核的集合）来定义图卷积，其中图卷积运算被解释为从图信号中去除噪声。基于空间域的ConvGNN继承了RecGNN的思想，通过消息传递来定义图卷积运算。

A. Spectral-Based ConvGNN

基于频域的ConvGNN：假设图是无向的。无向图的归一化图拉普拉斯矩阵定义为：

其中是对角矩阵，对角线上的元素代表对应节点的度数。归一化图拉普拉斯矩阵具有实对称半正定性质，因此可以分解为：

其中，为特征值排序的特征向量矩阵，为特征值对角矩阵，线生成的基本知识。归一化图拉普拉斯矩阵的特征向量形成一个正交空间，即。

处理图时，是所有节点的特征向量，是第节点的特征向量。的图傅里叶变换为：，逆图傅里叶变换为：，其中表示傅里叶变换的结果信号。

从上面的定义可以看出，图傅里叶变换将输入的图信号投影到一个归一化空间中，其中空间基由归一化图拉普拉斯算子的特征向量构成。原始输入信号可以表示为：（逆图傅里叶变换）。

通过上述定义，输入信号与滤波器之间的卷积运算定义为：

如果滤波器表示为：，图卷积可以简化为：

基于频域的ConvGNN都遵循以上定义，只是过滤器可能有所不同。

比如：Spectral CNN假设过滤器是一组可学习的参数，Spectral CNN的图卷积层定义为：

其中，为层索引，为输入图像信号，、为输入通道数，为输出通道数。

B. Spatial-Based ConvGNN

基于空间域的ConvGNN：基于节点的空间关系来定义图卷积。

Image可以被视为Graph的特殊形式，每个像素代表一个节点，每个像素直接连接到其附近的像素：
对于3×3窗口，每个节点的邻域就是其周围8个像素点。类似地，基于空间域的图卷积将中心节点的表示与相邻节点的表示进行卷积，得到中心节点的更新表示。

图的神经网络（NN4G）是基于空间域的ConvGNN的第一个工作，它通过直接汇总节点的邻域信息来执行图卷积，NN4G导出的下一层的节点状态公式为：

是激活函数，初始化为零向量。上式的矩阵形式为：

扩散CNN (DCNN)认为图的卷积是一个扩散过程。它假设信息以一定的转移概率从一个节点转移到它的一个相邻节点，使信息分布在几轮后达到均衡。DCNN将扩散图卷积定义为：

其中是激活函数，概率转移矩阵。由于扩散的平稳分布是概率转移矩阵幂级数的总和，因此DGC可以定义如下：

这里。需要注意的是，这里使用了概率转移矩阵的幂，这意味着远邻对中心节点的更新贡献很小。

PGC-DGCNN基于最短路径增加了远处邻居的贡献。PGC-DGCNN定义了最短路径邻接矩阵：如果节点到结节点的最短路径长度为，则，否则为0。PGC-DGCNN中的图卷积运算定义如下：

式中，、、表示向量的连接。

本篇文章提出的GCN是基于空间域的ConvGNN。

1. 引言

考虑在图中对节点进行分类的问题，其中只有少数节点被标记，然后我们的任务是预测未标记节点的标签。这种问题称为图的半监督分类。

解决上述问题的经典方法是：

其中代表标注数据上的误差，可以是神经网络，是节点特征向量矩阵，是非归一化图拉普拉斯矩阵（是度矩阵，是邻接矩阵），代表节点编码表示。

在上式中加入正则化项后，如果两个节点相邻（），那么我们会认为它们可能共享相同的标签。这种假设会限制模型的表达能力，因为图中的边不一定需要编码节点相似度，也可能是其他信息。

2. 图的快速近似卷积

传统图卷积：

可以发现，节点的状态向量在通过每一层图卷积进行传播时，都乘上了邻接矩阵，也就是说节点在更新自己状态向量的同时考虑了邻接节点的信息，但并没有考虑到自身的信息，这是因为的对角线为0（除非节点存在自环）。

本文提出的图卷积传播规则：

其中，即邻接矩阵在原有基础上加上一个单位矩阵，也即每一个节点都增加一条指向自己的边；为加上自环后的度矩阵；为层权重矩阵；为激活函数，比如ReLU；，也就是节点特征矩阵；经过多层卷积后，我们得到了最终的，即GCN学到的节点的状态向量表示。

可以发现，本文在传统图卷积的基础上做了两个创新：

。每个节点都被强制添加一个自环，使得节点的状态向量在前向传播过程中可以考虑到自己的特征信息。
对加上自环后的邻接矩阵进行了归一化： $%5Ctilde%7BD%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Ctilde%7BA%7D%5Ctilde%7BD%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ 。归一化后的邻接矩阵每一行的和都为1。

3. 半监督节点分类

有了上述图卷积的传播规则后，半监督节点分类就变得很简单了。比如说我们要分为两类，那么只需要在GCN后加上一个输出为2的全连接层，然后再经过一个Softmax即可。得到输出后再算出交叉熵损失，然后反向传播更新每一层GCN的参数。

例如，考虑一个只有一个隐藏层的简单模型：

其中， $%5Chat%7BA%7D%3D%5Ctilde%7BD%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Ctilde%7BA%7D%5Ctilde%7BD%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ 为加入自环再归一化后的邻接矩阵；是从输入到隐藏层的权重矩阵；是从隐藏层到输出层的权重矩阵。