写在前面
本文对大部分人来说可能仅仅起到科普的作用，因为Gumbel-Max仅在部分领域会用到，例如GAN、VAE等。笔者是在研究EMNLP上的一篇论文时，看到其中有用Gumbel-Softmax公式解决对一个概率分布进行采样无法求导的问题，故想到对Gumbel-Softmax做一个总结，由此写下本文
为什么我们需要Gumbel-Softmax ?
假设现在我们有一个离散随机变量的分布
其中，。我们想根据
的概率采样得到一系列离散
的值。但是这么做有一个问题，我们采样出来的
只有值，没有生成
的式子。例如我们要求
的期望，那么就有公式
对
的导数都很清楚。但是现在我们的需求是采样一些具体的
值，采样这个操作没有任何公式，因此也就无法求导。于是一个很自然的想法就产生了，我们能不能给一个以
为参数的公式，让这个公式返回的结果是
采样的结果呢？
Gumbel-Softmax
一般来说是通过神经网络预测对于类别
的概率，这在分类问题中非常常见，假设我们将一个样本送入模型，最后输出的概率分布为
，表明这是一个5分类问题，其中概率最大的是第2类，到这一步，我们直接通过argmax就能获得结果了，但现在我们不是预测问题，而是一个采样问题。对于模型来说，直接取出概率最大的就可以了，但对我们来说，每个类别都是有一定概率的，我们想根据这个概率来进行采样，而不是直接简单无脑的输出概率最大的值
最常见的采样的onehot公式为
其中是类别的下标，随机变量
服从均匀分布
上面这个过程实际上是很巧妙的，我们将概率分布从前往后不断加起来，当加到
时超过了某个随机值$ 0\leq u \leq 1
z
i$类，最后通过一个onehot变换
但是上述公式存在一个致命的问题：max函数是不可导的
Gumbel-Max Trick
Gumbel-Max技巧就是解决max函数不可导问题的，我们可以用argmax替换max，即
其中，，这一项名为Gumbel噪声，或者叫Gumbel分布，目的是使得
的返回结果不固定
可以看到式的整个过程中，不可导的部分只有argmax，实际上我们可以用可导的softmax函数，在参数
的控制下逼近argmax，最终
的公式为
其中，越小
，整个softmax越光滑逼近argmax，并且
也越接近onehot向量；
越大
，
向量越接近于均匀分布
总结
整个过程相当于我们把不可导的取样过程，从本身转移到了求
的公式中的一项
中，而
本身不依赖
，所以
对
就可以到了，而且我们得到的
仍然是离散概率分布的采样。这种采样过程转嫁的技巧有一个专有名词，叫重参数化技巧（Reparameterization Trick）
References
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