参考资料

1. 轨迹跟踪PID控制
2. PID控制概述
3. PID控制器开发笔记

1. PID控制原理

1.1 基本概念

PID( Proportional Integral Derivative)是工业应用最为广泛 的控制器。学习过控制理论的同学对它一定不陌生（毕竟调参这事可以记一辈子呢~~）。

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透过调整这三个单元的增益，和来调定其特性。

PID算法可以用下式表示：

其中

• : 比例增益，是调适参数
• : 积分增益，也是调适参数
• : 微分增益，也是调适参数
• ：积分时间常数
• ：微分时间常数
• : 误差=设定值 当前值(
• : 当前时间
• : 积分变数，数值从 0 到目前时间

当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。

任何闭环控制系统的首要任务是要稳（稳定）、准（准确）、快（快速）的响应命令。PID的主要工作就是如何实现这一任务。

PID控制器的比例单元 ( P) 、积分单元(I)和微分单元(D)分别对应目前误差、过去累计误差及未来误差。若是不知道受控系统的特性，一般认为PID控制器是最适用的控制器.

• 增大比例环节将加快系统的响应，它的作用于输出值较快，但不能很好稳定在一个理想的数值，不良的结果是虽较能有效的克服扰动的影响，但有余差出现，过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏。

• 积分环节能在比例的基础上消除余差，它能对稳定后有累积误差的系统进行误差修整，减小稳态误差。

• 微分环节具有超前作用，对于具有容量滞后的控制通道，引入微分参与控制，在微分项设置得当的情况下，对于提高系统的动态性能指标，有着显著效果，它可以使系统超调量减小，减小震荡，稳定性增加，动态误差减小。

在调整的时候，我们要做的任务就是在系统结构允许的情况下，在这三个参数之间权衡调整，达到最佳控制效果，实现稳、准、快的控制特点。

在实际应用中，主要有以下不足：

1. 在实际工业生产过程往往具有非线性、时变不确定，难以建立精确的数学模型，常规的PID控制器不能达到理想的控制效果；

2. 在实际生产现场中，由于受到参数整定方法烦杂的困扰，常规PID控制器参数往往整定不良、效果欠佳，对运行工况的适应能力很差。

1.2 数字 PID 控制算法

在实际计算机实现时，由于计算机控制是一种采样控制， 它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量， 进行连续控制，所以实现的是离散形式的PID，即数字PID控制算法

1. 位置式PID

位置式PID是当前系统的实际位置，与你想要达到的预期位置的偏差，进行PID控制

设采样时间为 ，公式(1)中的积分项可以用下式近似

微分项可近似为(后向差分法)

故公式(1)化为

当采样时间足够小时，能够获得最够精确的结果，离散控制过程与连续过程非常接近。

位置式PID在积分项达到饱和时,误差仍然会在积分作用下继续累积，一旦误差开始反向变化，系统需要一定时间从饱和区退出，所以在达到最大和最小时，要停止积分作用，并且要有积分限幅和输出限幅。

一般采用抗积分饱和算法，其思路就是：如果上一次的输出控制量超过了饱和值，饱和值为正，则这一次只积分负的偏差，饱和值为负，则这一次只积分正的偏差，从而避免系统长期留在饱和区！

python代码实现

class PID_posi:
    """位置式实现
    """
    def __init__(self, k=[1., 0., 0.], target, upper, lower):
        self.kp, self.ki, self.kd = k

        self.e = 0  # error
        self.pre_e = 0  # previous error
        self.sum_e = 0  # sum of error

        self.target = target  # target
        self.upper_bound = upper    # upper bound of output
        self.lower_bound = lower    # lower bound of output

    def set_target(self, target):
        self.target = target

    def set_k(self, k):
        self.kp, self.ki, self.kd = k

    def set_bound(self, upper, lower):
        self.upper_bound = upper
        self.lower_bound = lower

    def cal_output(self, obs):   # calculate output
        self.e = self.target - obs

        u = self.e * self.kp + self.sum_e * \
            self.ki + (self.e - self.pre_e) * self.kd
        if u < self.lower_bound:
            u = self.lower_bound
        elif u > self.upper_bound:
            u = self.upper_bound

        self.pre_e = self.e
        self.sum_e += self.e
        # print(self.sum_e)
        return u

    def reset(self):
        # self.kp = 0
        # self.ki = 0
        # self.kd = 0

        self.e = 0
        self.pre_e = 0
        self.sum_e = 0
        # self.target = 0

    def set_sum_e(self, sum_e):
        self.sum_e = sum_e

2. 增量式PID

增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量 。 当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。

增量式 PID 控制算法公式为：

增量式PID根据公式可以很好地看出，一旦确定了 ，只要使用前后三次测量值的偏差， 即可由公式求出控制增量；

得出的控制量对应的是近几次位置误差的增量，而不是对应与实际位置的偏差 ，因此没有误差累积。

python代码实现

# 增量式
class PID_inc:
    """增量式实现
    """
    def __init__(self, k, target, upper=1., lower=-1.):
        self.kp, self.ki, self.kd = k   
        self.err = 0
        self.err_last = 0
        self.err_ll = 0
        self.target = target
        self.upper = upper
        self.lower = lower
        self.value = 0
        self.inc = 0

    def cal_output(self, state):
        self.err = self.target - state
        self.inc = self.kp * (self.err - self.err_last) + self.ki * self.err + self.kd * (
            self.err - 2 * self.err_last + self.err_ll)
        self._update()
        return self.value

    def _update(self):
        self.err_ll = self.err_last
        self.err_last = self.err
        self.value = self.value + self.inc
        if self.value > self.upper:
            self.value = self.upper
        elif self.value < self.lower:
            self.value = self.lower

    def set_target(self, target):
        self.target = target

    def set_k(self, k):
        self.kp, self.ki, self.kd = k

    def set_bound(self, upper, lower):
        self.upper_bound = upper
        self.lower_bound = lower

2. 车辆横向跟踪误差

对于几何路径跟踪一般简化车辆模型为单车模型，如下图所示：

横向跟踪误差(cross track error, 简称CTE)为车辆中心点到最近路径点 的距离，具体如下图所示。

• 
• ：航向角；
• ：横向跟踪误差
• ：前视距离——后轴中心离当前路点的距离

根据上图，横向跟踪误差（CTE）计算公式如下：

3. PID实现轨迹跟踪

设车辆运动学模型为以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型（具体可参考笔者之前的博客），即

python实现代码如下。

import math
class KinematicModel_3:
  """假设控制量为转向角delta_f和加速度a
  """

  def __init__(self, x, y, psi, v, L, dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.L = L
    # 实现是离散的模型
    self.dt = dt

  def update_state(self, a, delta_f):
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

位置式和增量式PID的实现代码前文已给出。

下一步，还需要计算参考轨迹上离车辆当前位置最近的航路点：

def cal_target_index(robot_state,refer_path):
    """得到临近的路点

    Args:
        robot_state (_type_): 当前车辆位置
        refer_path (_type_): 参考轨迹（数组）

    Returns:
        _type_: 最近的路点的索引
    """
    dists = []
    for xy in refer_path:
        dis = np.linalg.norm(robot_state-xy)
        dists.append(dis)

    min_index = np.argmin(dists)
    return min_index

这部分可以使用KDTree来搜索搜索最临近的航路点，KDTree的使用可以参考资料

主函数入口（部分参考自资料1）：

from scipy.spatial import KDTree
from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid


# set reference trajectory
refer_path = np.zeros((1000, 2))
refer_path[:,0] = np.linspace(0, 100, 1000) # 直线
refer_path[:,1] = 2*np.sin(refer_path[:,0]/3.0)#+2.5*np.cos(refer_path[:,0]/2.0) # 生成正弦轨迹
refer_tree = KDTree(refer_path)  # reference trajectory



# 假设初始状态为x=0,y=-1,偏航角=0.5rad，前后轴距离2m，速度为2m/s，时间步为0.1秒
ugv = KinematicModel_3(0,-1,0.5,2,2,0.1)
k=0.1
c=2
x_ = []
y_ = []
fig = plt.figure(1)
# 保存动图用
camera = Camera(fig)

for i in range(550):
    robot_state = np.zeros(2)
    robot_state[0] = ugv.x
    robot_state[1] = ugv.y
    distance, ind = refer_tree.query(robot_state) # 在参考轨迹上查询离robot_state最近的点
    # ind = cal_target_index(robot_state,refer_path)  # 使用简单的一个函数实现查询离robot_state最近的点，耗时比较长


    alpha = math.atan2(refer_path[ind, 1]-robot_state[1], refer_path[ind, 0]-robot_state[0])
    l_d = np.linalg.norm(refer_path[ind]-robot_state)
    # l_d = k*ugv.v+c  # 前视距离
    theta_e = alpha-ugv.psi
    e_y = -l_d*math.sin(theta_e)  # 与博客中公式相比多了个负号，我目前还不是太理解，暂时先放着
    # e_y = -l_d*np.sign(math.sin(theta_e))  # 第二种误差表示
    # e_y = robot_state[1]-refer_path[ind, 1] #第三种误差表示
    # PID.set_target(0)
    # print(refer_path[i,1])
    delta_f = PID.cal_output(e_y)
    # print(e_y)
    # print(alpha)
    ugv.update_state(0,delta_f) # 加速度设为0

    x_.append(ugv.x)
    y_.append(ugv.y)

    # 显示动图
    plt.cla()
    plt.plot(refer_path[:, 0], refer_path[:, 1], '-.b', linewidth=1.0)
    plt.plot(x_, y_, "-r", label="trajectory")
    plt.plot(refer_path[ind, 0], refer_path[ind, 1], "go", label="target")
    # plt.axis("equal")
    plt.grid(True)
    plt.pause(0.001)
#     camera.snap()
# animation = camera.animate()
# animation.save('trajectory.gif')

plt.figure(2)
plt.plot(refer_path[:, 0], refer_path[:, 1], '-.b', linewidth=1.0)
plt.plot(x_,y_,'r')
plt.show()

使用PID得到的跟踪效果大致如下图所示

完整的Python代码可以参考github仓库。

后记

由于在规划控制中一般使用C++，所以也使用C++实现了相关功能，完整代码详见另一个github仓库。

位置式PID的公式有的地方写为

公式2的写法是把采样时间也并入到积分和微分系数里了。