padding(卷积中的填充)

情景（步长s为1）：

一个6×6的图像，3×3的卷积核，每一行卷积的过程类似，如图

卷积核每走一步（第一个黑框到第一个绿框），输出一个像素。所以要计算卷积后图像的大小，需要知道图像大小及卷积核大小。

(6-3)+1的结果为4，所以得到的卷积图像大小为4×4。公式为(图片大小 – 卷积核大小) + 1，这里的(图片大小 – 卷积核大小)意味着卷积核移动的次数，移动3次（绿色框），输出3个像素，+1意味着第一次计算卷积，即卷积核初始位置不需要移动的那一次。

令原图像大小为nxn，卷积核大小为fxf。
所以在步长为1的情况下，则卷积后图像边长为((n-f)+1)，即移动做卷积次数与第一次之和，图像大小为((n-f)+1) * ((n-f)+1)。

由此，可以暂时得到一个结论：nxn图像经过fxf卷积核得到图像大小的公式为((n-f)+1) * ((n-f)+1)

由上图能够明显看出，以上论述的情况的前提是卷积核每次移动一格，这里也是为了方便理解，上面情况是步长为1的情况，而有些时候，步长往往不为1，此时，卷积后的边长你是不是大概已经清楚了呢？

另外一种情景（步长不为1）：

基于以上思考，假设当卷积核步长为3的时候，计算的过程依旧是将第一次卷积和移动次数相加得到边长，第一次卷积次数无疑就是1，只不过原来移动次数为n-f，而如今的卷积核移动得更快了，在n-f得总长度上加上由于步长变大的移动速度限制，一次移动3格。也就是说，现在的移动次数变为(n-f)/3，如图

所以，可以得到公式，卷积后图像的长和宽为(n-f)/s + 1。

卷积存在问题

以上两种场景中，图像大小分别由6×6变为了4×4和2×2，原图像经过卷积操作得到的图像变小了。

缺点一：每次卷积，图像都会变小,6×6变为了4×4,6×6变为了2×2，多做几次卷积，你的输出图像会变得很小，可能变成1×1的大小，图像变小，会失去很多有用信息，因此图像变小是一个缺点。

缺点二：情景一中，图像边缘角落的像素点（边上四个角）仅被卷积计算了一次，因为它在3×3卷积核的一角，卷积核移动后，不能够再次对其计算。而区域中心被多次计算，边缘区域像素点在输出中采用较少，意味着丢失掉了边缘位置的信息。

填充

为了解决这些问题，可以在原始图像周围添加一些像素点，如果把6×6图像填充成8×8图像，那么经过3×3卷积，(8-3)+1=6，得到的就是6×6的图像。习惯上，用0填充。如果p是填充数量，在情景一中，p=1，因为我们在周围一圈填充了像素点，输出变成了((n+2p – f) + 1)*((n+2p – f) + 1)，(6+2-3+1)(6+2-3+1)=6×6与输入大小相同。

通过填充，角落像素信息发挥的作用较小这一缺点就被削弱了。这里我们填充的像素p=1。实际上填充多少像素，通常有两种选择，Valid卷积和Same卷积。

Valid卷积

Valid卷积意味着不填充。当你有nxn的图像，fxf的卷积核，s=1，将会输出一个(n-f+1)(n-f+1)的图像，这类似情景一。6×6图像，通过3×3卷积核，得到一个4×4输出。

Same卷积（一般用在s=1情况）

Same卷积，见名知意，填充之后，你的输出大小和输入大小是一样的。

s=1情况

s=1，根据n-f+1，填充后n变成n+2p，输出边长为n+2p-f+1。因此如果有nxn图像用p个像素填充，输出的大小就是(n+2p – f + 1)(n+2p – f + 1)。如果你想让n+2p – f + 1=n，使输入输出大小相等，你会通过等式求解p，那么p=(f-1)/2。
另外一种理解方式可以是把卷积核中心放在图像边缘上，这样的起始条件，填充相当于去掉卷积核中心一排的一半（p=(f-1)/2），使得输出和输入相同。

s !=1 情况

根据(n-f)/s + 1，填充后n变成n+2p，输出边长为(n+2p – f)/s + 1。因此如果有nxn图像用p个像素填充，输出的大小就是((n+2p – f)/s + 1)((n+2p – f)/s + 1)。如果你想让(n+2p – f)/s + 1=n，使输入输出大小相等，你会通过等式求解p，那么p=(s(n-1)+f-n)/2。

注：一般情况下Same卷积不会有s>1情况，因为就算s=2，实际的图像比较大，移动损失的像素点很多，要填充的话，就填充很多像素，然而当填充像素很多，意义就不大了。所以Same模式一般是s=1。

所以当f是一个奇数的时候，只要选择相应的填充尺寸，你就能确保得到和输入相同尺寸的输出。这也是为什么前面的例子，当过滤器是3×3时，使得输出尺寸等于输入尺寸，所需要的填充是(3-1)/2，也就是1个像素。另一个例子，当你的过滤器是5×5，如果f=5，然后代入那个式子，你就会发现需要2层填充使得输出和输入一样大，这是过滤器5×5的情况。

习惯上，计算机视觉中，f通常是奇数，甚至可能都是这样。你很少看到一个偶数的过滤器在计算机视觉里使用，我认为有两个原因。

其中一个可能是，如果f是一个偶数，那么你只能使用一些不对称填充。只有f是奇数的情况下，Same卷积才会有自然的填充，我们可以以同样的数量填充四周，而不是左边填充多一点，右边填充少一点，这样不对称的填充。

第二个原因是当你有一个奇数维过滤器，比如3×3或者5×5的，它就有一个中心点。有时在计算机视觉里，如果有一个中心像素点会更方便，便于指出过滤器的位置。

也许这些都不是为什么f通常是奇数的充分原因，但如果你看了卷积的文献，你经常会看到3×3的过滤器，你也可能会看到一些5×5，7×7的过滤器。后面我们也会谈到1×1的过滤器，以及什么时候它是有意义的。

但是习惯上，推荐你只使用奇数的过滤器。我想如果你使用偶数f也可能会得到不错的表现，如果遵循计算机视觉的惯例，我通常使用奇数值的f。

你已经看到如何使用padding卷积，为了指定卷积操作中的padding，你可以指定p的值。也可以使用Valid卷积，也就是p=0。也可使用Same卷积填充像素，使你的输出和输入大小相同。以上就是padding，在接下来的笔记中我们讨论如何在卷积中设置步长。

参考：https://www.jianshu.com/p/4d3ec56e7d05