【初阶数据结构】树结构与二叉树的基础概念

Hello,米娜桑们，这里是君兮_，今天带来数据结构里的重点内容也是在笔试，面试中的常见考点——树与二叉树，其中二叉树又分为很多种，我们先来讲讲基础的内容带大家一步步入门

二叉树与其遍历

• 一 树的概念及其结构
• • 1. 树结构中的相关概念
  • 2. 树的表示
• 二 什么是二叉树？
• • 1 概念
  • 2 特殊的二叉树
  • 3 二叉树的性质
  • 4 二叉树在内存中的存储
  • • 顺序存储
    • 链式存储
  • 5 二叉树的遍历
• 总结

一 树的概念及其结构

在介绍二叉树之前，我们得先知道什么是树结构，以及几个常用的概念

• 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
• 树有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
  除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的
  

1. 树结构中的相关概念

• 节点的度：
  一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：
  度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：
  度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：
  若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：
  一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：
  具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：
  一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：
  从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：
  树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：
  双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：
  从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：
  以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：
  由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2. 树的表示

• 这里不是本篇博客要讲的重点，就简单介绍一种常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

二 什么是二叉树？

1 概念

• 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

• 1. 或者为空

• 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
  

• 从上图可以看出：
  二叉树不存在度大于2的结点
  二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

• 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
  

2 特殊的二叉树

• 下面我们要介绍两种特殊的二叉树，理解并掌握这两种二叉树对我们之后学习的内容也是非常重要的

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3 二叉树的性质

• 1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
• 2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
• 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n2＝n0 +1
• 4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) . (log2(n+1) 是log以2
  为底的对数)
• 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
  于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 无左孩子 一共n个节点且存在数组里
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 无右孩子 同上

• 对于上面的一些结论，基本上都是数学知识，画个二叉树的图结合数学知识自己能很轻易的推出，这里就不浪费笔墨了

4 二叉树在内存中的存储

顺序存储

• 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。
• 需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段
  

链式存储

• 在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在我们才刚入门对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
    int val;
}BTNode;

int main()
{
     
    //手动构建
    BTNode* node1 = BuyNode(1);
    BTNode* node2 = BuyNode(2);
    BTNode* node3 = BuyNode(3);
    BTNode* node4 = BuyNode(4);
    BTNode* node5 = BuyNode(5);
    BTNode* node6 = BuyNode(6);
    node1->left = node2;
    node1->right = node4;
    node2->left = node3;
    node4->left = node5;
    node4->right = node6;
    
    return 0;
}

• 从前面二叉树的定义我们可以看出，二叉树存在空树和非空，当非空时，二叉树是由根节点，根节点的左子树，根节点的右子树组成的
• 也就是说，二叉树的定义是递归式的，后面我们的遍历等操作都是依据这一特性来进一步实现的

5 二叉树的遍历

由于是第一次提出二叉树的结构，大家对各种概念还不够了解，我们只先讲讲有哪几种遍历方式，具体的实现方式我们放到下一篇博客中讲解

• 所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础

• 按照一定的规则，二叉树的遍历大概有以下几种
  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后
  

• 由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

• 4.层序遍历
  除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历
  

总结

• 今天的内容就到这里了，由于是第一篇介绍树状结构的博客，因此只讲了一些基本的概念，但是千万不要因为是概念就不去好好理解它，实际上如果你这些概念掌握的不够熟练，在后面真正运用的时候是很难弄懂的
• 因此，想弄懂关于树与二叉树这一块内容，得从一开始就熟悉里面的概念，有些文中给出却没有推的结论不妨自己试着推理一下会记得更牢，如果有任何有关的问题，欢迎在评论区提出或者直接私信我，我看到有时间会第一时间回复的

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